HDU2256&&HDU4565：给一个式子的求第n项的矩阵快速幂

Posted 2020-09-29 xiaowuga

HDU2256

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2256

题意：求（sqrt(2)+sqrt(3)）^2n%1024是多少。

这个题算是hdu4565的一个常数版本了，所以我们先说这道题。对于这道题的做法我们可以计算((sqrt(2)+sqrt(3))^2)^n=(5+2*sqrt(6))^n，对于(5+2*sqrt(6))^n我们知道答案必定是以an+bn*sqrt(6)，而对于下一项我们只需要求(an+bn*sqrt(6))*(5+2*sqrt(6))=5*an+12*bn+2*an*sqrt(6)+5*bn*sqrt(6)，所以a(n+1)=5*an+12*bn; b(n+1)=2*an+5*bn。有了这个递推式我们就可以构造矩阵求an，bn。

这里还有一点对于(5+2*sqrt(6))^n=an+bn*sqrt(6); 同理(5-2*sqrt(6))^n=an-bn*sqrt(6)；两式相加(5+2*sqrt(6))^n+(5-2*sqrt(6))^n=2*an，当n趋于无穷的时候lim(5-2*sqrt(6))^n=0，因为5-2*sqrt(6)<1。

所以我们可以得到答案(5+2*sqrt(6))^n约等于2*an，且实际值是比2*an要小的且小于2*an-1要大的，所以由题目的意思我们向下取整，ans=2*an-1；具体看代码，其他都是矩阵快速幂的模板。

//Author: xiaowuga
#include <bits/stdc++.h>
#define maxx INT_MAX
#define minn INT_MIN
#define inf 0x3f3f3f3f
#define n 2
#define MOD 1024
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
    ll mat[4][4];
    Matrix operator * (const Matrix & m) const{
        Matrix tmp;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                tmp.mat[i][j]=0;
                for(int k=0;k<n;k++){
                    tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
                    tmp.mat[i][j]%=MOD;
                }
            }
        return tmp;
    }
};
Matrix POW(Matrix &m,int k){
    Matrix ans;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<n;i++) ans.mat[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*m;
        k/=2;
        m=m*m;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
    ll T,num;
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>num;
        Matrix m;
        m.mat[0][0]=5; m.mat[0][1]=12; m.mat[1][0]=2; m.mat[1][1]=5;
        Matrix ans=POW(m,num-1);
        ll sum=0,f[2]={5,2};
        for(int i=0;i<2;i++)
            sum+=ans.mat[0][i]*f[i]%MOD;
        sum%=MOD;
        ll x=(2*sum-1)%MOD;
        cout<<x<<endl;
    }
    return 0;
}

HDU4565

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4565

题意：算是上面那道题的一个升级版本啦。现在是a和b不是固定的的常数了。和上面的做法一样。注意题目中给出a-sqrt(b)<1的条件，所以基本和上道题是一样的了，类比一下吧！很简单的。但是这里是向上取整，所以答案是2*an。具体看代码吧。由于上面那道题在常数情况下已经说得很明白了。这道题就不说了

//Author: xiaowuga
#include <bits/stdc++.h>
#define maxx INT_MAX
#define minn INT_MIN
#define inf 0x3f3f3f3f
#define size 2
int MOD;
using namespace std;
typedef long long ll;
struct Matrix{
    ll mat[4][4];
    void clear(){
        memset(mat,0,sizeof(mat));
    }
    Matrix operator * (const Matrix & m) const{
        Matrix tmp;
        for(int i=0;i<size;i++)
            for(int j=0;j<size;j++){
                tmp.mat[i][j]=0;
                for(int k=0;k<size;k++){
                    tmp.mat[i][j]+=mat[i][k]*m.mat[k][j]%MOD;
                    tmp.mat[i][j]%=MOD;
                }
            }
        return tmp;
    }
};
Matrix POW(Matrix &m,int k){
    Matrix ans;
    memset(ans.mat,0,sizeof(ans.mat));
    for(int i=0;i<size;i++) ans.mat[i][i]=1;
    while(k){
        if(k&1) ans=ans*m;
        k/=2;
        m=m*m;
    }
    return ans;
}
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);
    ll  a,b,n;
    while(cin>>a>>b>>n>>MOD){
        Matrix m;
        m.clear();
        m.mat[0][0]=m.mat[1][1]=a%MOD;
        m.mat[0][1]=b%MOD;m.mat[1][0]=1;
        Matrix ans=POW(m,n-1);
        ll sum=(ans.mat[0][0]*a%MOD+ans.mat[0][1]%MOD)%MOD;
        cout<<2*sum%MOD<<endl;
    }
    return 0;
}