bzoj 3622 DP + 容斥

Posted 2020-09-29 ( m Lweleth)

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题意：给出n,k，有a,b两种值，a和b间互相配对，求$a>b$的配对组数-b>a的配对组数恰好等于k的情况有多少种。

思路：粗看会想这是道容斥组合题，但关键在于如何得到每个a[i]大于b的组数。

不妨从整体去考虑，使用$f[n][j]$代表前n个中有j组$a[i]>b[i]$，很容易得到转移式$f[n][j]=f[n-1][j]+f[n-1][j-1]*(cnt[n]-(j-1))$，其中$cnt[i]$为比a[i]小的b[]个数

但是仔细思考该式子含义会发现，$f[n][j]$得到的是不小于j组满足a[i]>b[]的数，会造成大于j组数情况的重复计入

我们定义$dp[n][i]$代表选取i组恰好糖果大于药片的方案 也就是正确答案

那么实际上总情况有$dp[n][i] = f[n][i]*(n-i)! $即剩下n-i个数自由配对 有$(n-i)!$种

重复情况为任意选取大于i(i+1~n)的 并在其中无序选出i个的种类数 即 $\sum^{n}_{j=i+1}{dp[n][i]*C(j,i)}$

 

/** @Date    : 2017-07-17 16:15:38
  * @FileName: bzoj 3622 DP + 容斥.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth ([email protected])
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <utility>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <string>
#include <stack>
#include <queue>
#include <math.h>
//#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int ,int>
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;
const LL mod = 1e9 + 9;

LL a[2100];
LL b[2100];
LL dp[2100];
LL f[2100][2100];
LL fac[2100];
LL inv[2100];
LL cnt[2100];
int n, k;

void init()
{
	fac[0] = fac[1] = 1;
	inv[0] = inv[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= 2010; i++)
	{
		fac[i] = fac[i - 1] * i % mod;
		inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
	}
	for(int i = 2; i <= 2010; i++)
		(inv[i] *= inv[i - 1]) %= mod;
}

LL C(int n, int m)
{
	LL ans = 0;
	if(m > n)
		return ans;
	ans = ((fac[n] * inv[m]) % mod * inv[n - m]) % mod;
	return ans;
}

int main()
{
	while(cin >> n >> k)
	{
		init();
		LL m = (n + k) / 2;

		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", a + i);
		for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%lld", b + i);

		sort(a + 1, a + n + 1);
		sort(b + 1, b + n + 1);

		for(int i = 1; i <= n; i++)
		{
			for(int j = 1; j <= n; j++)
				if(a[i] > b[j])
					cnt[i] = j;
		}
		for(int i = 0; i <= n; i++)
		{
			f[i][0] = 1;
			for(int j = 1; j <= i; j++)
			{
				f[i][j] = f[i - 1][j];
				if(cnt[i] - (j - 1) > 0)
					f[i][j] += f[i - 1][j - 1] * (cnt[i] - (j - 1));
				f[i][j] %= mod;
			}
		}

		for(int i = n; i >= m; i--)
		{
			dp[i] = f[n][i] * fac[n - i] % mod;
			for(int j = i + 1; j <= n; j++)
			{
				dp[i] = (dp[i] - dp[j] * C(j, i) % mod + mod) % mod;
			}
		}

		printf("%lld\n", dp[m]);
	}
    return 0;
}