AGC017C Snuke and Spells（巧妙的线段覆盖模型）

Posted 2020-09-28 Saurus

题目大意：

给出n个球，每个球上都有数字，然后每次都进行如下操作

如果当前的球总共有k个，那么就把球上数字为k的所有球都消除掉

注意到，并不是每种情况都可以全部消光，所以你可以选择若干球，把它们标号改变，最后达到消光的目的

问最少需要改变几个球。

 

后面还跟着m个询问，每个询问会改变一个球的标号，问改变之后最少需要改变几个球才能消光。

 

题解：

大体先构建一个线段覆盖的模型，然后再证明这个模型是正确的

对于标号为i的球，覆盖线段[i-Ni, i]（Ni为标号为i的球的个数）

每个球都做这样的覆盖，最后看[0, n]这段有多少没被覆盖的线段，有多少就是需要改变多少个球

证明：

首先如果线段全覆盖了，那么就不需要改变任何一个球

如果线段没有全覆盖，那么我们就需要改变一个球的标号i变成标号j

这样会使标号为i的线段覆盖减少1格，标号为j的线段的覆盖增加1格

那么每次最多只会减少一个没被覆盖的线段

所以最少就需要那么多球改变

 

根据这个模型，就很好写代码了

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int maxn = 2e5 + 100;
typedef pair<int, int> PII;
PII q[maxn];
int cnt[maxn], f[maxn], a[maxn];
int main()
{
    int n, m;
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for(int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d %d", &q[i].fi, &q[i].se);
    for(int i = 1; i <= n; i++) cnt[a[i]]++;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(cnt[i]){
            for(int j = max(0, i-cnt[i]); j < i; j++) f[j]++;
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int i = 0; i < n; i++) if(!f[i]) ans++;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        int x = a[q[i].fi], y = q[i].se;
        a[q[i].fi] = y;
        if(x-cnt[x] >= 0){
            f[x-cnt[x]]--;
            if(f[x-cnt[x]] == 0) ans++;
        }
        cnt[x]--;
        if(y-cnt[y]-1 >= 0){
            f[y-cnt[y]-1]++;
            if(f[y-cnt[y]-1] == 1) ans--;
        }
        cnt[y]++;
        printf("%d\n", ans);
    }
}