[混凝土数学] 整型函数

Posted 2020-09-28

3.1　顶与底

一. 定义

　　整数是离散数学的支柱.

　　我们很多时候, 都要将分数转化为整数.

　　为此, 我们定义了两个整值函数: 顶, 底.

 

　　$\lceil x\rceil$ 表示 $\ge x$ 的最小整数, 读作 " $x$ 的顶 " .

　　$\lfloor x\rfloor$ 表示 $\le x$ 的最大整数, 读作 " $x$ 的底 " .

 

　　从多个角度定义一个概念, 这样有利于对概念的理解和应用.

　　我们尝试从几何上解释它.

　　给定一条自下而上的数轴.

　　$\lceil x\rceil$ 就是从 $x$ 点出发, 向上扫描找到的第一个整点.

　　$\lfloor x\rfloor$ 就是从 $x$ 点出发, 向下扫描找到的第一个整点.

 

　　几何上还有第二个解释, 我们尝试建立平面直角坐标系.

二. 性质与应用

　　我们要弄清整值函数的性质, 并用一些简单的例子加以理解, 进而有更深远的应用.

　　出于应用的目的, 一些过于简单或无用的探究结果不予以显示.

性质1

　　$\lceil x\rceil = x\Leftrightarrow x为整数 \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor = x$ .

性质2

　　$\lceil x\rceil - \lfloor x\rfloor = [x不为整数]$ .

　　这是一个机智的命题, 给定了 $\lceil x\rceil$ 与 $\lfloor x\rfloor$ 之间的一个关系.

性质3

　　$x-1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x+1$ .

性质4

　　$\lfloor -x\rfloor = -\lceil x\rceil$ .

　　$\lceil -x\rceil = -\lfloor x\rfloor$ .

性质5　整值函数等于整数 n 的等价条件

　　$\lfloor x\rfloor = n \Leftrightarrow n\le x<n+1  \Leftrightarrow x-1<n\le x$

　　$\lceil x\rceil = n\Leftrightarrow n-1<x\le n \Leftrightarrow x\le n<x+1$

性质6　整值函数与整数 n 的不等关系的等价条件

　　左闭右开, 顶函数: $a\le x<b \Leftrightarrow \lceil a\rceil \le x < \lceil b \rceil$ .

　　左开右闭, 底函数: $a < x\le b \Leftrightarrow \lfloor a\rfloor < x \le \lfloor b\rfloor$ .

　　通常配套使用的还有结论: $a < n \Leftrightarrow a+1\le n$ .

　　于是,  $\lfloor a\rfloor \le x \Leftrightarrow \lfloor a \rfloor < x+1\Leftrightarrow a < x+1$ .