[fzu 2271]不改变任意两点最短路至多删的边数

Posted 2020-09-28 ACMsong

题目链接：http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=2271

题目中说每条边的边权都是[1,10]之间的整数，这个条件非常关键！以后一定要好好读题啊……

做10次循环，第i次循环加边权为i的边，如果这条边小于当前两点间最短路，就加边，更新两点距离；否则就不要这个边。

每次循环过后，做一次Floyd。至多做10次Floyd。

有一个猜想，比赛的时候就想到了：从小到大加边，如果这个边比这两点之间的最短距离小，就要，否则就不要。这个猜想不会证……

但是只想到了每次更改距离以后都做一次Floyd，没有想到一块加权值相同的边，然后再做Floyd。这里就假设上面的猜想是正确的，然后证明一下统一做Floyd的方法也是正确的吧。

假设dis[][]维护着两点间的最短距离。

首先，对于未经优化的方法，如果有一条边加入了，说明这条边的权比两点的最短路短，如果没有随时维护，只维护到了上次权值不同的最后一条边，由于dis随着维护是越来越小的，所以现在的dis也显然大于这个边权，因此对于没有优化的方法，这条边会加进去。

然后，对于未经优化的方法，如果有一条边没有加入，说明这条边的权w不比两点的最短路短，如果没有随时维护，只维护到了上次权值不同的最后一条边，由于用[1,w-1]的边构成的最短路已经得到，假设这条权值是w的边在优化后会加入，也就是说当前的dis>w，而优化以前没有加入，说明dis‘<=w，所以意思就是，加入了一些权值为w的边以后，dis变得<=w了，那这个dis‘只能是=w了。既然是权值为w的最短路，要么是用权值为w的边得到的，那此时dis应该也=w了，因为每遇到一个w的边都会更新距离。要么是用[1,w-1]的边构成的，那这个在[1,w-1]之后就应该已经维护出来了。这两种情况都与dis>w矛盾。所以假设失败，这条边在优化以后还是不会加入。

所以加不加入在优化前后是一样的。

#include<cstdio>
#include<cstring>

const int maxn=105;
const int maxm=40005;
const int INF=0x3f3f3f3f;

struct Edge
{
    int u,v,w;
}edge[maxm];
int dis[maxn][maxn];

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    for (int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        int n,m;
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for (int i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&edge[i].u,&edge[i].v,&edge[i].w);
        }
        memset(dis,INF,sizeof(dis));
        for (int i=1;i<=n;i++) dis[i][i]=0;
        int ans=0;
        for (int z=1;z<=10;z++)
        {
            for (int e=0;e<m;e++)
            {
                if (edge[e].w==z)
                {
                    int u=edge[e].u;
                    int v=edge[e].v;
                    if (z<dis[u][v])
                    {
                        dis[u][v]=z;
                        dis[v][u]=z;
                        ans++;
                    }
                }
            }
            for (int k=1;k<=n;k++)
                for (int i=1;i<=n;i++)
                    for (int j=1;j<=n;j++)
                        if (dis[i][k]+dis[k][j]<dis[i][j])
                            dis[i][j]=dis[i][k]+dis[k][j];
        }
        printf("Case %d: %d\n",cas,m-ans);
    }
    return 0;
}