第三周作业

阅读下面程序，请回答如下问题：

问题1：这个程序要找的是符合什么条件的数？

问题2：这样的数存在么？符合这一条件的最小的数是什么？

问题3：在电脑上运行这一程序，你估计多长时间才能输出第一个结果？时间精确到分钟（电脑：单核CPU 4.0G Hz，内存和硬盘等资源充足）。

问题4：在多核电脑上如何提高这一程序的运行效率?

using System;

using System.Collections.Generic;

using System.Text;

namespace FindTheNumber

{
　　class Program
　　{
　　　　static void Main(string[] args)
　　　　{
　　　　　　int [] rg =
　　　　　　　　　　{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,
　　　　　　　　　　 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31};
　　　　　　for (Int64 i = 1; i < Int64.MaxValue; i++)
　　　　　　{
　　　　　　　　int hit = 0;
　　　　　　　　int hit1 = -1;
　　　　　　　　int hit2 = -1;
　　　　　　　　for (int j = 0; (j < rg.Length) && (hit <=2) ; j++)
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　if ((i % rg[j]) != 0)
　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　hit++;
　　　　　　　　　　　　if (hit == 1)
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　hit1 = j;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else if (hit == 2)
　　　　　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　　　　　hit2 = j;
　　　　　　　　　　　　}
　　　　　　　　　　　　else
　　　　　　　　　　　　　　break;
　　　　　　　　　　}

　　　　　　　　}
　　　　　　　　if ((hit == 2)&& (hit1+1==hit2))
　　　　　　　　{
　　　　　　　　　　Console.WriteLine("found {0}", i);
　　　　　　　　}
　　　　　　}
　　　　}
　　}
}

 

答：

（1）在本子上进行了多次的演算后，大致感觉这个代码的目的是要在int64的范围中找到不能被rg[k]与rg[k+1]整除，但是同时可以被数组中其他的数整除的数。

（2）我首先将代码直接复制到了VS中运行，第一次运行了大概20分钟没有出结果，可以见得这个数肯定非常大，用笔算应该是不太现实的，我也尝试了几次就放弃了，这样的数存在么？说实话我不太清楚。在和同学的讨论中，有了一些思路，最后发现计算方法为：首先必须要符合不能被rg[k]与rg[k+1]整除，但是同时可以被数组中其他的数整除，可以确定rg[k]肯定大于15。

其次，在16到31之间的数中，17没有因子，23没有因子，其他数都可以在2-15之间找到因子，所以，这两个数一定包含23与17的其中一个，22是11的倍数，24是12的倍数，所以23不是其中的一个，18是2和9的倍数，因为i必须被2和9整除，所以18也不是，只有16可以，所以这两个是分别是16和17。那么最小的i就是剩下28个数的最小公倍数：2123581660200。

（3）我在图书馆用了差不多2个小时来运行这段代码，并没有得到结果输出，因为for循环中的范围达到了int64.MaxValue，所以这个数一定不会小，就算得到了第一个结果，也有可能结果不唯一，所以我大胆的估计了至少一天才能出结果。可是我还是太年轻，在网上找到了一个大神的推断：

要估算时间，我们先确定一个原子操作（或者说原子过程更合适），这里我们取内层for循环里的整个if语句块，该段程序主要包括一个取模操作和一个判断，如果进入if语句的话，还包括1次加法操作，1~2次判断和一次赋值操作。

我们知道加法、判断等操作基本都在几个时钟周期内就可以完成，而除法操作却需要数十个时钟周期，而取模操作也是通过除法操作得到的(还记得汇编语言里，执行除法操作之后，一个寄存器里存结果，另一个寄存器里存余数)，另外，对64位整数的除法明显要慢于32位整数，综合这些因素，我们可以假设该原子 操作需要100个时钟周期。因此2GHz的CPU在1秒内能跑2*10^9 / 100 = 2*10^7 即2000万次原子操作，做过ACM的同学就会有一个直观概念，这和我们通常做时限为1S的题时估算的计算次数差不多。

接下来估算原子操作执行的次数：外层循环跑了2123581660200次，内层循环取决于 i 的情况，当i为奇数的时候，内层最多跑5次即可结束，因为2，4，6都不能整除奇数；当i为偶数的时候，情况要复杂一些，但是也可以一个一个的详细分析。 这里我们粗略估计，就算内层循环平均可以跑10次，外层循环少跑一些，去掉零头，总的原子操作执行了2*10^13次。

所以需要 2*10^13 / (2*10^7) = 10^6秒约为277个小时。

277个小时，也就是10天多，真是太神奇了，如此简短的代码，竟然会有如此巨大的运算量，我现在都认为电脑CPU已经性能过剩了，没想到面对这样的程序还是无能为力。

（4）我的笔记本是i5-3337u，双核1.8GHz，睿频能达到2.7GHz，按照上边大神的计算，2GHz的CPU可以在277小时内得到结果，那么我的电脑在睿频达到最高速的状态下应该需要277*（2/（2.7*2））=102.6小时，这是在最理想的情况下要运行127小时，因为电脑肯定不可能在102小时内全速运行，如果保持充电状态，大概能保持2GHz的运行速度，而且在我运行代码时，CPU的使用率只有39%，所以大概需要的时间为：277*(2*(2*2))/0.39=355小时。