codevs 1515:跳

Posted 2020-09-28 这里有十二吨芒果

题目描述 Description
邪教喜欢在各种各样空间内跳。

现在，邪教来到了一个二维平面。在这个平面内，如果邪教当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：(x-1,y), (x+1,y), (x,y-1), (x,y+1)。

而每当邪教到达一个点，他需要耗费一些体力，假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。

对于C(x,y)，有以下几个性质：

1、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。

2、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。

3、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。

现在，邪教想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力（到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。

由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。

输入描述 Input Description
读入两个整数N，M，表示邪教想到达的点。

输出描述 Output Description
输出仅一个整数，表示邪教需要花费的最小体力对10^9+7取模的结果。

样例输入 Sample Input
1 2

样例输出 Sample Output
6

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于10%的数据，满足N, M<=20；

对于30%的数据，满足N, M<=100；

对于60%的数据，满足min(N,M)<=100；

对于100%的数据，满足0<=N, M<=10^12，N*M<=10^12。

题目

　　芒果君：一天没学OI了，写篇博文收收心。这道题，乍一看，棋盘dp；再乍一看，啊，这不是大明湖畔的杨辉、三角，组合数学题。贪心不难想，长边沿着0行列走，短边深入内部。设长边为n，短边为m，最小体力为n+ΣC（i,n+i）i=0--->i=m. %mod。

　　难道这样就完了吗？不可能！辣么大的数据摆着呢。上面那个西格玛什么什么可以化成C（n+m+1,n），于是这道题变得更加玄学了。

　　正在翻题解的我突然看到了一个陌生的定理——lucas定理，用于大组合数求模，需要递归调用。（PS：我现在对递归有点害怕，因为上次调并查集的时候炸栈了QAQ）具体公式为lucas(n,m)=C(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod) 

　　（其实我还有些不懂的地方，待补充）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #define ll long long
 6 #define mod 1000000007
 7 using namespace std;
 8 ll n,m;
 9 ll ksm(ll x,ll y)
10 {
11     ll ret=1;
12     while(y){
13         if(y&1) ret=ret*x%mod;
14         y>>=1;
15         x=x*x%mod; 
16     }
17     return ret;
18 }
19 ll C(ll x,ll y)
20 {
21     ll k1=1,k2=1;
22     for(int i=x-y+1;i<=x;++i) k1=k1*i%mod;
23     for(int i=1;i<=y;++i) k2=k2*i%mod;
24     return (k1*ksm(k2,mod-2))%mod; 
25 }
26 ll lucas(ll x,ll y)
27 {
28     if(!y) return 1;
29     return C(x%mod,y%mod)*lucas(x/mod,y/mod)%mod;
30 }
31 int main()
32 {
33     scanf("%lld%lld",&n,&m);
34     printf("%lld",(max(n,m)+lucas(n+m+1,min(n,m)))%mod);
35     return 0;
36 }