EX-GCD

Posted 2020-09-28 古时候的瘾君子

拓展欧几里得算法，由欧几里得算法（辗转相除法）得来。

先介绍欧几里得算法：

求两个数的最大公约数，根据简单的证明（就不证了）可得：

gcd（a,b）==gcd(b,a%b);

所以可以写出代码：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

 

接下来是拓展欧几里得算法：

首先我们需要知道gcd(a,b)==gcd(b,a%b)==gcd(b,a-(a/b)*b);

其中gcd(b,a%b)==gcd(b,a-(a/b)*b)是怎么得到的呢？

不妨设a>b

a=b*x+y;

->y=a%b

->x=a/b

即可证

接下来有百度百科可得：’‘扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y使得ax+by = Gcd(a, b) =d(解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。”

故可得方程：ax+by=gcd(a,b);

然后是百度百科的内容：

“

求解 x，y的方法的理解

设 a>b。

1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

2，a>b>0 时

设 ax1+ by1= gcd(a,b);

bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);

根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);

则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;

即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;

也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);

根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;

这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。”

接下来是代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return r;
}