HihoCoder 1532 : 最美和弦

Posted 2020-09-28 可达龙

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描述

某个夜晚，Bob将他弹奏的钢琴曲录下来发给Jack，Jack感动之余决定用吉他为他伴奏。

我们可以用一个整数表示一个音符的音高，并可认为Bob弹奏的曲子是由3N个整数构成的一个序列。其中每个整数的取值范围是[-200, 200]。

Jack共弹奏 N 个和弦，每个和弦由三个音符组成。Jack可以自行决定和弦的第一个音符，其后的两个音符由第一个音符与和弦种类所决定。Jack共弹奏两种和弦：大三和弦与小三和弦。假设Jack决定某个和弦的第一个音符是 x，那么对于大三和弦，余下两个音符依序是 x+4和 x+7；对于小三和弦，余下两个音符依序是x+3和x+7。两个和弦相同，当且仅当其对应位置的三个音符都相同。其中每个和弦的第一个音符x的取值范围也是[-200, 200]。

Jack很懒，一旦决定弹奏某个和弦后，便不愿意更换和弦。即如果他开始弹奏1,5,8这个和弦，他将不停重复1,5,8,1,5,8,1,5,8……Bob觉得这样过于单调，于是Jack妥协：他表示愿意更换和弦，但最多更换K次。最开始选择和弦不计在更换次数内。

我们用不和谐值衡量乐曲与伴奏之间的契合程度。记某时刻Bob弹奏音符的音高为a，Jack弹奏音符的音高为b，则该点的不和谐值为|a-b|。整首乐曲的不和谐值等于这3N个不和谐值之和。

Jack希望选取最美的一组和弦，使得整首乐曲的不和谐值达到最小。你需要输出这个最小值。

输入

第一行两个正整数 N (≤1000), K (≤20).

第二行3N个整数(取值范围[-200, 200])为Bob的曲谱。

输出

一个整数，为乐曲最小不和谐值。

样例输入 3 1 -1 3 6 4 7 11 21 26 28样例输出 15这题做很难受，最后看着题解才恍然大悟，总是有那么点感觉，但就是没法抓住那点灵感。还是DP的题目做的太少，思考不够深度。Jack可以使用两种和弦，大三和小三，然后每种和弦都有400个起调（-200~200），最多可以变调K次，求Jack让伴奏和音乐最小的不和谐度是多少。

状态描述：dp[i][j][t][x] 表示的是考虑第i个调调，已经变调j次，此时使用t和弦，起调为x的情况下整首歌曲的不和谐度的最小值状态转移方程是 dp[i][j][t][x] = min{ dp[i-1][j][t][x] (不变调的情况下)， dp[i-1][j-1][0~1][0~400] } + cost(i, x, t)cost(i, x, t)表示在第i个调调，使用t和弦，起调为x，所产生的不和谐度是多少。其中有个别扭的地方就是，在变调的状态转移，有一个是t跟x都和当前考虑的状态一样，这样就是没有变调，但是却加在了状态转移里面。其实是应该拿出来不考虑的，但是其实如果可以多变一次调，那么可以肯定的是，他的最小值一定不会比多变一次调的状态要大，所以dp[i-1][j][t][x] <= dp[i-1][j-1][t][x],所以加上并不会影响结果，还会让代码变复杂。
还有一点就是优化的一点就是使用g[i][j]来表示i层使用j次变调所能达到的最小值，可以降低两层循环，减少复杂度。于是，状态转移方程dp[i][j][t][x] = min{ dp[i-1][j][t][x], g[i-1][j-1] } + cost(i, x, t)g[i][j] = min{ dp[i][j][0~1][0~400] }
代码：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
typedef long long LL;
const int N = 1000 + 5;
const int X = 400 + 20;
const int offs = 200;
const int K = 20 + 5;

int n, k;
int a[N][3];
int dp[N][K][2][X]; // 1000 * 200 * 400  === 80000000
int g[N][X];
//dp[i][j][t][x] = min(dp[i-1][j][t][x], dp[i-1][j-1][t(0~1)][x(-200 ~ 200 )]) + cost(i,x,t);
// t 0 small  1 large
int cost(int i, int x, int t)
{
    int ans = 0;
    if(t)
        ans = abs(a[i][0] - x) + abs(a[i][1] - x - 4) + abs(a[i][2] - x - 7);
    else
        ans = abs(a[i][0] - x) + abs(a[i][1] - x - 3) + abs(a[i][2] - x - 7);
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 0; j < 3; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);
    }
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    memset(g, 0x3f, sizeof(g));
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int x = 0; x <= 400; x++)
        {
            for(int j = 0; j <= k; j++)
            {
                dp[i][j][1][x] = dp[i-1][j][1][x] + cost(i, x - 200, 1);
                if(j) dp[i][j][1][x] = min(dp[i][j][1][x], g[i-1][j-1] + cost(i, x - 200, 1));
                dp[i][j][0][x] = dp[i-1][j][0][x] + cost(i, x - 200, 0);
                if(j) dp[i][j][0][x] = min(dp[i][j][0][x], g[i-1][j-1] + cost(i, x - 200, 0));
            }
        }
        for(int x = 0; x <= 400; x++)
        {
            for(int j = 0; j <= k; j++)
            {
                g[i][j] = min(g[i][j], dp[i][j][0][x]);
                g[i][j] = min(g[i][j], dp[i][j][1][x]);
            }
        }
    }
    int ans = INF;
    for(int j = 0; j <= k; j++)
        ans = min(ans, g[n][j]);
    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}