SVN需要补充的向量知识

Posted 2020-09-28

这篇转过来的博文，将SVN需要补充的数学基础知识娓娓道来，浅显易懂，强烈推荐！

 

2.从向量到距离计算

SVM = Support Vector Machine，我们在Support Vector Machine中, 看到这个单词-vector（向量）。是的，SVM中的大量计算都是建立在向量基础上的，所以这篇做一个简短的知识回顾，会涉及到的内容包括：

• • 向量是什么 
    
    • 它的模长
    • 它的方向
  • 如何加减向量
  • 什么是点积
  • 如何将一个向量映射到另一个向量上
  • 超平面的方程是什么
  • 如何计算间隔

2.1 什么是向量

如果我们在二维空间上定义一个点A (3,4)，我们可以这样绘制它

 

 

 

定义：任意点x=(x1,x2),x≠0指定了平面上的一个向量，即从原点的开始到x点结束的向量。

下图是一个原点与A之间的向量。

 

这个点的起始位置是原点O(0,0)，图中的这个向量是向量OA→。我们也可以找一个其他的字母标记来标识它，例如u。

注：你会发现我们写向量时，在向量上方有一个箭头，或者是将向量加粗。在这篇文章的剩余部分中，如果像OA→这样由两个字母可以表示的，那么我将使用箭头来表示向量，否则的话将使用加粗字体的变量来表示向量。

现在我们知道有一个向量，但我们仍然不知道什么是一个向量。

定义：向量是一个既有大小又有方向的对象。

OK，所以这里涉及到两个概念：大小 和 方向。

1) 向量大小

一个向量x的大小写作∥x∥，称作向量的模。对我们的OA→来说，∥OA∥是线段OA的长度。

 

 

 

从图中我们可以很容易地使用勾股定理计算出距离OA： 

OA2=OB2+AB2OA2=32+42OA2=25OA=25??√∥OA∥=OA=5

 

2) 向量的方向

方向是向量的第二个组成部分。

定义：向量u(u1,u2)的方向是向量w(u1∥u∥,u2∥u∥)

那向量w的坐标怎么得到的？

要得到一个向量的方向，我们需要借助它的夹角。 

 

 

上图展示了向量u(u1,u2)，其中u1=3，u2=4。

简单的理解 : 向量u的方向是由夹角θ和夹角α的余弦值决定的。 
现在我们来观察一下角度的余弦值： 

cos(θ)=u1∥u∥cos(α)=u2∥u∥

 

因此，这就是向量w最初的定义，也就是为什么他的坐标被称作方向余弦。

计算方向向量

我们现在要计算上图向量u的方向。 

cos(θ)=u1∥u∥=35=0.6cos(α)=u2∥u∥=45=0.8

 

向量u(3,4)的方向是向量w(0.6,0.8)。 
下图是这个方向向量的一个示例： 

 

 

我们可以看出w和u看起来一样，只是w的值小一点。并且w的模长为1，我们也把它称之为单位向量。

两个向量的和

 

 

 

有两个向量u(u1,u2)和v(v1,v2),那么：

u+v=(u1+v1,u2+v2)

 

这意味着两个向量相加形成了第三个向量，第三个向量的坐标是初始两个向量坐标的加和。下面是一个简单的图解： 

 

 

两个向量的差

类似的，对于减法我们有： 

u?v=(u1?v1,u2?v2)

 

 

由于减法是不可交换的，我们也应该考虑另一种情况： 

v?u=(v1?u1,v2?u2)

 

 

向量内积

关于理解SVM的一个非常重要的概念就是内积(点积)。

定义：从几何学来说，它是两个向量的模长以及它们之间的夹角余弦值的乘积。

也就是意味着，如果我们有两个向量x和y,他们间的夹角为θ，他们的内积是：

x?y=∥x∥∥y∥cos(θ)

 

为什么内积这么算

为了便于理解，我们看一下这个问题的几何图形 

 

 

在定义中我们写cos(θ),让我们看一下他到底是什么。 
初中数学知识告诉我们，在一个直角三角形中：

cos(β)=角的临边斜边

 

OK，一个稍微复杂一点的图形，里面有两个向量，如下：

 

 
和 
 

 

合在一起可以得到如下的几何图像：

 

 

 

可以看出：

θ=β?α

 

所以计算cos(θ)就是在计算cos(β?α)，根据两角差的余弦公式为：

cos(β?α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)

(忘记这部分高中数学知识的同学请点击公式推导)

 

直角三角形中三角函数的定义 =_=| 

cos(β)=临边斜边=x1∥x∥sin(β)=对边斜边=x2∥x∥cos(α)=临边斜边=y1∥y∥sin(α)=对边斜边=y2∥y∥

 

三角公式替换后有： 

cos(θ)=cos(β?α)=cos(β)cos(α)+sin(β)sin(α)cos(θ)=x1∥x∥y1∥y∥+x2∥x∥y2∥y∥cos(θ)=x1y1+x2y2∥x∥∥y∥

 

将∥x∥∥y∥左移有： 

∥x∥∥y∥cos(θ)=x1y1+x2y2

 

也就是说： 

∥x∥∥y∥cos(θ)=x?y

 

就这样推导了一遍向量内积的几何定义…

多说一句，当我们在谈论x?y的点积是我们在谈论的是：

• • 向量X，Y的内积（线性代数）
  • 标量积，因为我们做两个向量的乘积，它返回一个标量（一个实数）。

向量的正交投影

有两个向量x与y,怎么求x在y上的正交投影？，如下图所示，将x投射到y上，得到向量z 

 

 

通过定义：

cos(θ)=∥z∥∥x∥∥z∥=∥x∥cos(θ)

 

我们从内积的部分有： 

cos(θ)=x?y∥x∥∥y∥

 

在方程中替换cos(θ)有： 

∥z∥=∥x∥x?y∥x∥∥y∥∥z∥=x?y∥y∥

 

如果我们定义了u作为y的方向那么： 

u=y∥y∥

 

并且 

∥z∥=u?x

 

现在我们可以用一种简单的方式定义z的模： 
z与y有相同的方向向量u 

u=z∥z∥z=∥z∥u

所以我们说： 
向量z=(u?x)u 是向量x在y上的正交投影。

 

为什么要费尽心思去讲正交投影？因为它能帮助我们计算一个距离∥x?z∥。 

 

 

 

∥x?z∥=(3?4)2+(5?1)2??????????????√=17??√

 

3. SVM的超平面

我们都知道一条直线的数学方程是：y=ax+b，而超平面会被定义成类似的形式：

wTx=0

 

这两种形式是如何联系的？在超平面的方程可以看出，变量的名称是粗体的。是的，所以它们不是标量，是向量了。此外wTx是两个向量的内积。 
还有一点大家注意一下，有时候我们会做一些形式变换，比如y=ax+b和y?ax?b=0其实是等价的。

两个向量w????b?a1???与x???1xy???，我们有 

wTx=?b×(1)+(?a)×x+1×ywTx=y?ax?b

 

注意到w0是?b，这个值确定了与纵轴的交点。为什么我们用wTx这个方程式代表超平面而非y=ax+b呢?因为

• • 在多于二维的空间里，这个方程式更适用
  • 向量w垂直于超平面

计算一个点到超平面的距离第二个原因将派上用场。

3.1 计算点到超平面距离

下图中我们有一个超平面，他将两组数据划分开。 

 

 

为了简化这个例子，我们干脆将w0设为0。 
图中的超平面方程为：x2=?2x1相当于：

wTx=0

 

其中w(21)，x(x1x2)。请注意w是一个向量而非数据点。

我们来计算一下点A(3,4)到超平面的距离，下图是A投影到超平面的距离。 

 

 

我们把点A视作一个从原点指向A的向量。再将A向量投影到向量w上 

 

 

得到向量p 

 

 

我们的目标是找到点A(3,4)和超平面之间的距离。从上图中可以很清楚看到这个距离就是∥p∥。让我们一起计算一下它的值：

向量w=(2,1)垂直于超平面，向量a=(3,4) 

∥w∥=22+12??????√=5√

设向量u为w的方向向量

u=(25√,15√)

p是a在w上的投影，所以： 

p=(u?a)up=(3×25√+4×15√)up=(65√+45√)up=105√up=(105√×25√,105√×15√)p=(205,105)p=(4,2)∥p∥=42+22??????√=25√

 

3.2 计算超平面的间隔

我们得出了A与超平面的距离∥p∥，根据间隔公式有： 

margin=2∥p∥=45√

是的，就这样算出了超平面的间隔！

 

 

4.总结

OK，到目前为止，其实就是简单回顾了一下向量中的一些概念，依旧用向量的知识，怎么帮助我们去计算超平面间隔。

参考资料 
SVM - Understanding the math