bzoj4520[Cqoi2016]K远点对 KD-tree+堆

Posted 2020-09-28 GXZlegend

题目描述

已知平面内 N 个点的坐标，求欧氏距离下的第 K 远点对。

输入

输入文件第一行为用空格隔开的两个整数 N， K。接下来 N 行，每行两个整数 X,Y，表示一个点

的坐标。1 < =  N < =  100000， 1 < =  K < =  100， K < =  N*(N−1)/2 ， 0 < =  X, Y < 2^31。

输出

输出文件第一行为一个整数，表示第 K 远点对的距离的平方（一定是个整数）。

样例输入

10 5
0 0
0 1
1 0
1 1
2 0
2 1
1 2
0 2
3 0
3 1

样例输出

9

---

题解

KD-tree+堆

考虑求与一个点距离第k大的点怎么求：维护一个有k个元素的小根堆，表示距离，初始时都是极小值；每次扫到一个点，如果距离大于堆顶，那么就把堆顶元素换成这个距离。并根据左右子树的估价函数与堆顶的关系决定是否向下查询。最后堆顶就是答案。

那么换成所有点之间的呢？直接维护同一个堆，对所有点求一次就好了。但是要注意，由于一对点会被计算两次，所以要维护2k个元素。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100010
#define squ(x) (ll)(x) * (x)
using namespace std;
typedef long long ll;
priority_queue<ll> q;
int d , root;
struct data
{
	int p[2] , mx[2] , mn[2] , c[2];
	bool operator<(data a)const {return p[d] == a.p[d] ? p[d ^ 1] < a.p[d ^ 1] : p[d] < a.p[d];}
}a[N];
void pushup(int k , int x)
{
	a[k].mx[0] = max(a[k].mx[0] , a[x].mx[0]);
	a[k].mn[0] = min(a[k].mn[0] , a[x].mn[0]);
	a[k].mx[1] = max(a[k].mx[1] , a[x].mx[1]);
	a[k].mn[1] = min(a[k].mn[1] , a[x].mn[1]);
}
int build(int l , int r , int now)
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	d = now , nth_element(a + l , a + mid , a + r + 1);
	a[mid].mx[0] = a[mid].mn[0] = a[mid].p[0];
	a[mid].mx[1] = a[mid].mn[1] = a[mid].p[1];
	if(l < mid) a[mid].c[0] = build(l , mid - 1 , now ^ 1) , pushup(mid , a[mid].c[0]);
	if(r > mid) a[mid].c[1] = build(mid + 1 , r , now ^ 1) , pushup(mid , a[mid].c[1]);
	return mid;
}
ll getdis(int k , int x , int y)
{
	return max(squ(a[k].mx[0] - x) , squ(a[k].mn[0] - x)) + max(squ(a[k].mx[1] - y) , squ(a[k].mn[1] - y));
}
void query(int k , int x , int y)
{
	ll dn = squ(a[k].p[0] - x) + squ(a[k].p[1] - y) , dl = (a[k].c[0] ? getdis(a[k].c[0] , x , y) : -1ll << 62) , dr = (a[k].c[1] ? getdis(a[k].c[1] , x , y) : -1ll << 62);
	if(dn > -q.top()) q.pop() , q.push(-dn);
	if(dl > dr)
	{
		if(dl > -q.top()) query(a[k].c[0] , x , y);
		if(dr > -q.top()) query(a[k].c[1] , x , y);
	}
	else
	{
		if(dr > -q.top()) query(a[k].c[1] , x , y);
		if(dl > -q.top()) query(a[k].c[0] , x , y);
	}
}
int main()
{
	int n , k , i;
	scanf("%d%d" , &n , &k);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d%d" , &a[i].p[0] , &a[i].p[1]);
	root = build(1 , n , 0);
	for(i = 1 ; i <= 2 * k ; i ++ ) q.push(0);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) query(root , a[i].p[0] , a[i].p[1]);
	printf("%lld\n" , -q.top());
	return 0;
}