洛谷P1521 求逆序对 题解

Posted 2020-09-28 SHYI

题意：

　　求1到n的全排列中有m对逆序对的方案数。

思路：

　　1.f[i][j]表示1到i的全排列中有j对逆序对的方案数。
　　2.显然，1到i的全排列最多有(i-1)*i/2对逆序对，而对于f[i][j]来说，新加入一个数i+1，产生的新的逆序对数与插入的位置有关（数目为插入的数的位置之后的数的数目），于是n＾４暴力就新鲜出炉了。
　　3.换一个角度来说，当i>j的时候，我们枚举i的全排列的第一位的数字，如果是1，那么就要求剩下i-1个数中有j个全排列，如果是2，要求剩下i-1个数中有i-2个
全排列，依次类推，得到了第一个方程：f[i][j]=sum{f[i-1][0],f[i-1][1],f[i-1][2].....f[i-1][j]}
　　　　当i<=j的时候,由于i的全排列中最大的数字是i，所以把i放到第一位上，由第一位最多能能产生i-1个逆序对，把1放到第一位上能产生0个逆序对，所以i-1-1+1=i-1，这时的f[i][j]就要由f[i-1][j]开始算上他自己，总共i-1项的和。因此：f[i][j]=sum{f[i-1][j],f[i-1][j-1],f[i-1][j-2].....f[i-1][j-i+1]}

反思：

　　我只会暴力，优化只能理性愉悦一下了，好菜啊……

代码：

　　n^4暴力:

 

 1 #include<cstdio>
 2 int n,m,i,j,k,f[201][10000];
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d%d",&n,&m);
 7     f[1][0]=1;
 8     for (i=1;i<n;++i)
 9         for (j=0;j<=(i-1)*i>>1;++j)
10             for (k=0;k<=i;++k)
11                 if ((f[i+1][j+i-k]+=f[i][j])>=10000) f[i+1][j+i-k]-=10000;
12     printf("%d\n",f[n][m]);
13     return 0;
14 }

　　n^3:

 1 #include<cstdio>
 2 int n,m,i,j,f[101][5000];
 3 
 4 int main()
 5 {
 6     scanf("%d%d",&n,&m);
 7     f[1][0]=1;
 8     for (i=2;i<=n;++i)
 9     {
10         for (j=0;j<i;++j) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j])%10000;//因为f[i,j]里面统计的是类似于前缀和的一个东西，f[i][j]只比f[i][j-1]多了f[i-1][j]这一项
11         for (;j<=(i-1)*i>>2;++j) f[i][j]=(f[i][j-1]+f[i-1][j]-f[i-1][j-i])%10000;//这时求和的项数确定了，就是i-1项，于是f[i,j]比f[i][j-1]多了f[i-1][j]这一项，少了f[i-1][j-i]这一项
12         for (;j<=(i-1)*i>>1;++j) f[i][j]=f[i][((i-1)*i>>1)-j];//因为数对总数为i*(i-1)/2,而一个数对要么是逆序对要么是顺序对，因此f[i][j]是关于f[i][i*(i-1)/4]呈现中心对称的
13     }
14     printf("%d\n",(f[n][m]+10000)%10000);
15     return 0;
16 }