听课记录17-7-11 动态规划 - 朱全民

Posted 2020-09-27

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————————动态规划初步————————

一、常见动态规划：
求最优解、次优解；
统计问题。

二、DP模型：
线型- 一条直线、两条直线、多条直线（二维矩阵）。
树型- 明显能够构成一棵树。多叉树转二叉树：孩子兄弟表示法。
图型- 以图为模型。基于连通性的状态压缩DP（哈密顿环）。
集合类型

三、DP概念：
阶段、状态、决策、状态转移。
最优化原理、无后效性原理。

四、步骤
划分阶段—设置状态—状态转移方程—（优化决策）

五、例题分析

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————————树形动态规划————————

一、步骤
从根开始-->逐层推进-->叶子节点结束

二、孩子兄弟表示法
在树型动规中，为了把多叉树转化为二叉树，方便分析（相当于把普通的题目转化为类似01背包的DP），采用孩子兄弟表示法。
一个结点，它的左儿子表示它的孩子，右儿子表示它的兄弟。
因此对于每一棵子树，在根结点没有被选择的情况下，其右儿子结点也是可以选择的。

三、特殊题型
加分二叉树：由中序遍历推断二叉树结构，由于中序遍历顺序为左—中—右，因此可假设根节点为k，再进行动态规划。

软件安装：若DP阶段出现依赖性环，则可以将环缩为一个点。

聚会的快乐：f[i][j] 其中i表示当前（根）节点。


多一个需要规划的状态，加一维。
个别状态在不同的情况下没有变化，可降维。

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————————状态压缩动规————————

一、常见类型：
铺砖、摆放骑士（马）

二、特点
将一行的状态压缩成一串二进制数，每次确定一行的状态。通常需要处理的题目中任意一行都只对其周围有限行产生影响，按照各行的影响进行DP。
例如“地砖铺设”，任意一行的地砖只会对本行和接下来一行产生影响。
“骑士”，一个骑士只受它上下各两行的骑士影响。

善用#define来避免不必要的错误。

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———————基于连通性的状压DP———————

一、其他概念
插头：一个格子某个方向的插头存在，表示这个格子在这个方向与相邻格子相连。
轮廓线：配合插头使用，确定连通块的一条线。
轮廓线确定方法：暂时未知

二、处理问题
图上有障碍的哈密顿回路问题。

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———————动态规划优化———————

一、时间复杂度分析
O=阶段数*每个阶段的状态转移数*每次状态转移时间
优化途径：减少状态转移数

二、优化方法
从问题特性入手；
先写出基础DP方程，再进行简化或优化。

1.改变状态的表示，即改变数组F[][]的含义，减少循环变量数。也用于降维。
2.合理组织状态，如何更新状态更高效。

*其他知识：离散数学的偏序集、Dilworth定理

3.预处理出一个（或多个）数组记录某些定值，实现降维。
4.状态选取时加入贪心
5.以套餐问题为例：
  A-提前计算最多可生产多少套，剪枝状态。
  B-先解决成套生产的部分时间，再进行动态规划，减少状态数。但注意成套生产时间不能过长。
  C-淘汰一些没有意义的状态，如某种物质超标。
6.利用数据结构优化
常见数据结构：二叉堆、字典树、并查集
7.利用决策的单调性
队列优化
斜率优化
（以上两个优化需要了解证明，超出NOIP范围）

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