cf487C Prefix Product Sequence

Posted 2020-09-27 zhber

Consider a sequence [a₁,?a₂,?... ,?a_n]. Define its prefix product sequence .

Now given n, find a permutation of [1,?2,?...,?n], such that its prefix product sequence is a permutation of [0,?1,?...,?n?-?1].

Input

The only input line contains an integer n (1?≤?n?≤?10⁵).

Output

In the first output line, print "YES" if such sequence exists, or print "NO" if no such sequence exists.

If any solution exists, you should output n more lines. i-th line contains only an integer a_i. The elements of the sequence should be different positive integers no larger than n.

If there are multiple solutions, you are allowed to print any of them.

Example

Input

7

Output

YES
1
4
3
6
5
2
7

Input

6

Output

NO

Note

For the second sample, there are no valid sequences.

 

要求给出1~n的排列，使得前1,2...n项之积模n恰好包含[0,n-1]中所有数

显然n要放最后，不然乘个n之后后面的积都是0了（不过这句话好像并没有卵用）

显然[0,n-1]每个数不能出现超过1次（好像也没有卵用）

如果n是质数，非常简单，令模n之后分别是1,2,3,4...n-1,0,

倒推可知第一个数是1，第二个数是2乘（1关于n的逆元），第三个数是3乘（2关于n的逆元）……最后一个是n

如果n不是质数，，，太恶心了

先给结论：如果n==4，发现有一解1,3,2,4是可以的，否则不行。

证明：当n为合数且n!=4，不妨假设n=p*q(p>2,p>=q)

那么1~pq当中有至少三个不同的数q,2q,pq。

显然n=pq是一定要放在排列最后的，再分类讨论：

p==q，n=p^2，而且p,2p的位置要在在p^2之前，显然p*2p=2p^2=2n,所以在p处，或者2p处前k项的积就是0了，p^2处也是0，显然不行

p!=q，p和q都在pq之前，同理，在p处，或者q处前k项的积是pq的倍数，所以也是0，而pq处也是0，也不行

 

*所以只有p==q==2的时候，没有p和2p同时出现，所以找到了一组解

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdlib>
 5 #include<algorithm>
 6 #include<cmath>
 7 #include<queue>
 8 #include<deque>
 9 #include<set>
10 #include<map>
11 #include<ctime>
12 #define LL long long
13 #define inf 0x7ffffff
14 #define pa pair<int,int>
15 #define mkp(a,b) make_pair(a,b)
16 #define pi 3.1415926535897932384626433832795028841971
17 #define mod 100007
18 using namespace std;
19 inline LL read()
20 {
21     LL x=0,f=1;char ch=getchar();
22     while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
23     while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
24     return x*f;
25 }
26 int n;
27 LL ni[100010];
28 inline LL quickpow(LL a,int b)
29 {
30     LL s=1;
31     while (b)
32     {
33         if (b&1)s=(s*a)%n;
34         a=(a*a)%n;
35         b>>=1;
36     }
37     return s;
38 }
39 int main()
40 {
41     n=read();
42     if (n==1){puts("YES\n1");return 0;}
43     if (n==4){puts("YES\n1\n3\n2\n4\n");return 0;}
44     for (int i=2;i<=sqrt(n);i++)if (n%i==0){puts("NO");return 0;}
45     for (int i=1;i<n;i++)ni[i]=quickpow(i,n-2);
46     puts("YES");
47     puts("1");
48     for (int i=2;i<n;i++)printf("%d\n",i*ni[i-1]%n);
49     printf("%d\n",n);
50 }

cf487C

 

以上是关于cf487C Prefix Product Sequence的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

Codeforces 487C Prefix Product Sequence[数论+构造]

seq2seq 预测下一个时间步

CF1149A Prefix Sum Primes

CF1290C Prefix Enlightenment (并查集)

CF1303G Sum of Prefix Sums

CF1303G Sum of Prefix Sums[李超树，点分治]