初等数学问题解答-4：无理方程求解

Posted 2020-09-27 赵胤数学课

 

本题适合初二以上数学爱好者解答。

 

问题：

$x$ 取什么实数值时，下列方程能够成立？

a. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$;

b. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$;

c. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$.

 

解答：

这是第1届国际数学奥林匹克（IMO）的第2题，由罗马尼亚供题。

本题难度并不大，主要考查了复合二次根式与绝对值的几何意义，普通中学生就可以轻松解决之。

a. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = 2$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = 2$$ $$\Rightarrow -1 \le \sqrt{2x - 1} \le 1$$ $$0 \le 2x - 1 \le 1$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1.$$

 

b. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = \sqrt{2}.$$ 而 $$|\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| \ge 2,$$ 因此该方程无实数解。

 

c. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1} - 1 = \frac{1}{2}\cdot\left(2\sqrt2 - 2\right)$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow x = \frac{3}{2}.$$

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

 

赵胤数学竞赛课程QQ群：482131093