初等数学问题解答-4:无理方程求解

Posted 赵胤数学课

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了初等数学问题解答-4:无理方程求解相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

 

本题适合初二以上数学爱好者解答。

 

问题:

$x$ 取什么实数值时,下列方程能够成立?

a. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$;

b. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$;

c. $\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$.

 

解答:

这是第1届国际数学奥林匹克(IMO)的第2题,由罗马尼亚供题。

本题难度并不大,主要考查了复合二次根式与绝对值的几何意义,普通中学生就可以轻松解决之。

a. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = 2$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = 2$$ $$\Rightarrow -1 \le \sqrt{2x - 1} \le 1$$ $$0 \le 2x - 1 \le 1$$ $$\Rightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1.$$

 

b. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 1$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = \sqrt{2}.$$ 而 $$|\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| \ge 2,$$ 因此该方程无实数解。

 

c. $$\sqrt{x + \sqrt{2x - 1}} + \sqrt{x - \sqrt{2x - 1}} = 2$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x + 2\sqrt{2x - 1}} + \sqrt{2x - 2\sqrt{2x - 1}} = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1 + 2\sqrt{2x - 1} + 1} + \sqrt{2x - 1 - 2\sqrt{2x - 1} + 1} = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow |\sqrt{2x - 1} + 1| + |\sqrt{2x - 1} - 1| = 2\sqrt{2}$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1} - 1 = \frac{1}{2}\cdot\left(2\sqrt2 - 2\right)$$ $$\Rightarrow \sqrt{2x - 1} = \sqrt{2}$$ $$\Rightarrow x = \frac{3}{2}.$$

 

 

作者简介:

赵胤,海归双硕士(数学建模 & 数学教育),中国数学奥林匹克一级教练员,原北京四中数学竞赛教练员,目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括:数学建模(机器学习算法)与数学奥林匹克教育(解题研究与教学法),以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中,培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手,包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖,全美数学竞赛(AMC)、美国数学邀请赛(AIME)满分等。

 

赵胤数学竞赛课程QQ群:482131093

 

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