BZOJ 1083: [SCOI2005]繁忙的都市Kruscal最小生成树裸题

Posted 2020-09-27 Angel_Kitty

1083: [SCOI2005]繁忙的都市

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Description

　　城市C是一个非常繁忙的大都市，城市中的道路十分的拥挤，于是市长决定对其中的道路进行改造。城市C的道
路是这样分布的：城市中有n个交叉路口，有些交叉路口之间有道路相连，两个交叉路口之间最多有一条道路相连
接。这些道路是双向的，且把所有的交叉路口直接或间接的连接起来了。每条道路都有一个分值，分值越小表示这
个道路越繁忙，越需要进行改造。但是市政府的资金有限，市长希望进行改造的道路越少越好，于是他提出下面的
要求： 1． 改造的那些道路能够把所有的交叉路口直接或间接的连通起来。 2． 在满足要求1的情况下，改造的
道路尽量少。 3． 在满足要求1、2的情况下，改造的那些道路中分值最大的道路分值尽量小。任务：作为市规划
局的你，应当作出最佳的决策，选择那些道路应当被修建。

Input

　　第一行有两个整数n,m表示城市有n个交叉路口，m条道路。接下来m行是对每条道路的描述，u, v, c表示交叉
路口u和v之间有道路相连，分值为c。(1≤n≤300，1≤c≤10000)

Output

　　两个整数s, max，表示你选出了几条道路，分值最大的那条道路的分值是多少。

Sample Input

4 5
1 2 3
1 4 5
2 4 7
2 3 6
3 4 8

Sample Output

3 6

HINT

Source

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1083

题意
给定一张图，求其最小生成树中权值最大的边

---

要是学习过最小生成树的相关概念，就会发现这道题就是直接考察的最小生成树，只不过题目没有问你最小生成树的边权和，而是让你输出最小生成树有几条边（点数-1）和权值最大的那条边的权值。

---

那么什么是生成树呢？

In the mathematical field of graph theory, a spanning tree T of an undirected graph G is a subgraph that is a tree which includes all of the vertices of G. In general, a graph may have several spanning trees, but a graph that is not connected will not contain a spanning tree (but see Spanning forests below). If all of the edges of G are also edges of a spanning tree T of G, then G is a tree and is identical to T (that is, a tree has a unique spanning tree and it is itself).

Paste_Image.png

如上图所示，生成树就是在给定的图中选取最少的边使所有顶点连通，那么最小生成树就是选取的边的权值和最小。

---

了解了生成树的概念，就很容易能明白生成树只有n-1条边，其中n表示顶点数。
那么怎么求最小生成树呢？
这里我介绍kruscal算法。

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克鲁斯卡尔算法
该算法用到的是贪心思想，将所有的边按权值排序，每次都选权值最小的边，然后判断这条边的两个顶点是否属于同一个连通块，如果不属于同一个连通块，那么这条边就应属于最小生成树，逐渐进行下去，直到连通块只剩下一个。

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kruscal算法的模板代码如下：

 1 const int maxn=400;//最大点数
 2 const int maxm=10000;//最大边数
 3 int n,m;//n表示点数，m表示边数
 4 struct edge{int u,v,w;} e[maxm];//u,v,w分别表示该边的两个顶点和权值
 5 bool cmp(edge a,edge b)
 6 {
 7     return a.w<b.w;
 8 }
 9 int fa[maxn];//因为需要用到并查集来判断两个顶点是否属于同一个连通块
10 int find(int x)
11 {
12     if(x==fa[x]) return x;
13     else return fa[x]=find(fa[x]);
14 }
15 int kruscal()
16 {
17     int ans=-1;
18     sort(e+1,e+1+m,cmp);
19     for(int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;//初始化并查集
20     int cnt=n;
21     for(int i=1;i<=m;++i)
22     {
23         int t1=find(e[i].u);
24         int t2=find(e[i].v);
25         if(t1!=t2)
26         {
27             if(cnt==1) break;
28             fa[t1]=t2;
29             ans=max(ans,e[i].w);
30             cnt--;
31         }
32     }
33     return ans;
34 }

针对这道题，我们只需要把ans+=e[i].w改为ans=max(ans,e[i].w)就好了，至此问题得到了解决。

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 const int maxn=400;///最大点数
 4 const int maxm=10000;///最大边数
 5 int n,m;///n表示点数,m表示边数
 6 struct edge
 7 {
 8     int u,v,w;///u,v,w分别表示该边的两个顶点和权值
 9 }e[maxm];
10 bool cmp(edge a,edge b)
11 {
12     return a.w<b.w;
13 }
14 int fa[maxn];///判断两个点是否属于同一个连通块
15 int find(int x)
16 {
17     if(x==fa[x])
18         return x;
19     else return fa[x]=find(fa[x]);
20 }
21 int kruscal()
22 {
23     int ans=-1;
24     sort(e+1,e+1+m,cmp);
25     for(int i=1;i<=n;i++)
26         fa[i]=i;///初始化并查集
27     int cnt=n;
28     for(int i=1;i<=m;i++)
29     {
30         int t1=find(e[i].u);
31         int t2=find(e[i].v);
32         if(t1!=t2)
33         {
34             if(cnt==1)
35                 break;
36             fa[t1]=t2;
37             ///ans+=e[i].w;
38             ans=max(ans,e[i].w);
39             cnt--;
40         }
41     }
42     return ans;
43 }
44 int main()
45 {
46     cin>>n>>m;
47     for(int i=1;i<=m;i++)
48     {
49         cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
50     }
51     cout<<n-1<<" ";
52     cout<<kruscal()<<endl;
53     return 0;
54 }