51nod1312 最大异或和

Posted 2020-09-27 SilverNebula

数学问题 线性基 贪心

 

题目来源： TopCoder

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 320 

有一个正整数数组S，S中有N个元素，这些元素分别是S[0],S[1],S[2]...,S[N-1]。现在你可以通过一个操作来更新数组。操作方法如下：

选择两个不同的数i、j（0<=i,j<N 且 i!=j），先计算A = S[i] xor S[j], B = S[j]。然后用A、B替换S[i]，S[j]，即 S[i]=A , S[j]=B。其中xor表示异或运算。

你可以进行任意多次操作，问最后生成的数组S的元素和 SUM = S[0]+S[1]+S[2]+...+S[N-1] 最大可能值是多少。输出这个最大值。

 

例如：S = {1,0}，去A = S[1] xor S[0] = 1,B = S[0] = 1,新的S={1,1}，SUM = 1+1 = 2.

Input

第一行一个整数N，且1<=N<=50
接下来N行每行一个整数S[i]，且0<=S[i]<=1,000,000,000,000,000 (10^15)

Output

一个整数，即最后集合可能的最大值SUM。

Input示例

3
1
2
3

Output示例

8

 

数学问题 线性基 贪心

显然就是线性基。

假设我们需要k个数来搞出线性基，那么有n-k个数可以取到异或空间里的最大值max。

这k个数线性无关，为了使他们最大，我们先把它们消到尽可能小，再异或max。

↑把得到的n个数累加起来就是答案。

 

秒题三分钟，写题一小时？exm？

动态维护线性基看上去并没有问题，然而交上去无限WAWAWA。

然后突然意识到年初的时候和Sfailsth讨论过的问题：高斯消元得到的线性基向量一定是该位为1的所有可能得到的向量中最小的，而动态维护线性基得到不一定是最小的。

丢一个链接：http://www.cnblogs.com/SfailSth/p/6220328.html

 

于是手动把线性基向量消到最小，AC

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=65;
 9 LL read(){
10     LL x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<\'0\' || ch>\'9\'){if(ch==\'-\')f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>=\'0\' && ch<=\'9\'){x=x*10+ch-\'0\';ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int n;
16 LL a[mxn],b[mxn],f[mxn];
17 int main(){
18     int i,j;
19     n=read();
20     for(i=1;i<=n;i++)a[i]=b[i]=read();
21     for(i=1;i<=n;i++)
22         for(j=62;j>=0;j--){
23             if((b[i]>>j)&1){
24                 if(!f[j]){f[j]=b[i];break;}
25                 b[i]^=f[j];
26             }
27         }
28     LL mx=0;int cnt=0;
29     for(i=62;i>=0;i--)
30         if(f[i]){
31             if((mx^f[i])>mx){mx^=f[i];}
32             cnt++;
33         }
34     LL ans=0;
35     ans+=mx*(n-cnt+1);
36     cnt--;
37     for(i=0;cnt && i<=62;i++){
38         if(f[i]){
39             for(int j=i-1;j>=0;j--){
40                 if(f[j] && ((f[i]>>j)&1)){
41                     f[i]^=f[j];
42                 }
43             }
44             ans+=mx^f[i];
45             cnt--;
46         }
47     }
48     printf("%lld\\n",ans);
49     return 0;
50 }