拉格朗日乘子法的几何解释

Posted 2020-09-27 遗忘海岸

问题：函数f(x,y,z)在 g(x,y,z)=0 的约束下取极值（最大或最小)

 

 f(x,y,z)=c  c取定义域中的任意值时形成空间中一系列曲面 S_f，这些曲面互相平行（不允许相交--等位面|线的定义）， g(x,y,z)=0是空间中的曲面S_g，因为x,y,z要取S_g上的点，所以只有那些 交于S_g或者与S_g相切函数f(x,y,z)的等位面S_f与 S_g形成的交线或者切点（也可能是一块重叠的区域）才可取。

 

1.考虑某一交于S_g的面S_f_1 形成的交线C1，那么在f(x,y,z)增加方向 即 grad f 方向或 -grad f方向 很小的距离内必定还有其他S_f_x与S_g形成的交线C2，C1必需不相交于C2，而且C2对应的值(f的函数值）必定大于或小于S_f_1对应的函数值(两等位面上f的取值必需不同否则相交了)，因此可以排除曲面相交形成交线的上的点可以取到极值。

 

2.考虑某一切于S_g的面S_f_2 取切点为P (可以能在S上有一块或多块区域重叠 指 f =c与 g=0 ) ,  那么在f(x,y,z)增加方向 即 grad f 方向或 -grad f方向 很小的距离内必定有S_f_x在P点(或这一个重叠区域) 离开-脱离 S_g或交于S_g,那些脱离S_g的点显然不符合限制条件，而交于S_g的点（形成曲线）参考 1 点必然大于或小于两面相切的点, 故切点处是局部极致（最大或最小）去的点（或者一个区域）

3. 而在这些切点处 两函数的梯度平行 （都垂直于这点）即 grad f = lamd  grad g。