『理论』科学计算专项_线性代数几何原理剖析

Posted 2020-09-27 叠加态的猫

矩阵左乘向量的几何意义，行列式的几何意义

矩阵左乘向量的两种理解

1，矩阵左乘向量可以理解为对向量进行线性变换

探究原理的话，可以理解左乘为对整个空间（基&目标向量）进行线性变换，其中，

• 变换矩阵是基‘在基的坐标的列向量组合
• 目标向量是向量在基中的坐标
• 结果向量是向量’在基下的坐标

就结果来看，实质是利用向量在基下的坐标和基‘在基下的坐标，求出整个空间旋转到基’位置后向量的新位置（向量‘）在原基下的坐标。

 

详细说明如下：

把基画出来的原因是因为矩阵变换的其实是基。

举例子来看看，比如旋转（旋转矩阵 )：

 

 

 

 2.矩阵左乘向量可以理解为单纯的对向量进行换基操作

和上面不同的是这个理解中目标向量本身在绝对空间中没有发生任何变化，仅仅是换了对基：

• 变换矩阵是基‘在基下的坐标的列向量组合
• 目标向量是原向量在基’下的坐标
• 结果向量是原向量在基下的坐标

就结果来看，实质上是利用向量在基‘下的坐标和基’在基下的坐标求出向量在基下的坐标。

 换基操作详解如下：

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

结论参考：

相似矩阵的实质

行列式的本质

行列式的实质

引用自童哲的回答

1，行列式是针对一个的矩阵而言的。表示一个维空间到维空间的线性变换。那么什么是线性变换呢？无非是一个压缩或拉伸啊。假想原来空间中有一个维的立方体（随便什么形状），其中立方体内的每一个点都经过这个线性变换，变成维空间中的一个新立方体。

2，原来立方体有一个体积，新的立方体也有一个体积。

3，行列式是一个数对不对？这个数其实就是 ，结束了。

就这么简单？没错，就这么简单。



所以说：行列式的本质就是一句话：

行列式就是线性变换的放大率！




理解了行列式的物理意义，很多性质你根本就瞬间理解到忘不了！！！比如这个重要的行列式乘法性质：



道理很简单，因为放大率是相乘的啊~！



你先进行一个变换，再进行一个变换，放大两次的放大率，就是式子左边。
你把“先进行变换，再进行变换”定义作一个新的变换，叫做“”，新变换的放大律就是式子右边。

然后你要问等式两边是否一定相等，我可以明确告诉你：too simple 必须相等。因为其实只是简单的把事实陈述出来了。这就好像：

“ 你经过股票投资，把1块钱放大3被变成了3块钱，然后经过实业投资，把3块钱中的每一块钱放大5倍成了5块钱。请问你总共的投资放大率是多少？”



翻译成线性代数的表达就是：







这还不够！我来解锁新的体验哈~

上回咱们说到行列式其实就是线性变换的放大率，所以你理解了：


那么很自然，你很轻松就理解了：


so easy，因为




同时你也必须很快能理解了

“矩阵可逆” 完全等价于 “”

因为再自然不过了啊，试想是什么意思呢？不就是线性变换把之前说的维立方体给拍扁了啊？！这就是《三体》中的”降维打击”有木有！！！如来神掌有木有！！！直接把3维立方体 piaji一声~一掌拍成2维的纸片，纸片体积多少呢？当然是 0 啦！

请注意我们这里说的体积都是针对维空间而言的， 就表示新的立方体在 维空间体积为0，但是可能在维还是有体积的，只是在 维空间的标准下为0而已。好比一张纸片，“2维体积”也就是面积可以不为0，但是“3维体积”是妥妥的0。

所以凡是的矩阵都是耍流氓，因为这样的变换以后就再也回不去了，降维打击是致命性的。这样的矩阵必然是没有逆矩阵 的。这就是物理意义和图象思维对理解数学概念的重要性。



当然要证明也是小菜一碟轻而易举的：

由

可知

这怎么可能啊~？ 了，那么等于多少呢？毫无办法，只能不存在。一个矩阵怎么可能行列式不存在呢？只能是因为 不存在。所以自然不可逆。