什么是Complement（补码）?

Posted 2020-09-27

大学上过计算机原理课程的朋友都接触过补码这个概念，不过当时书上所教授的内容都是以二进制作为前提，即所谓的2的补码（2‘s Complement）。近来看TCP/IP Volume 1时，又接触到“1的补码”这个概念，忽然发现其实还不太明白补码到底是什么意思，故查阅资料记录之。

资料来源：维基百科

术语解释：Radix —— 基数，在本篇文章的范畴内等价于“进制”

定义：给出长度为n的数值y，则y的以基数b的补码为： bⁿ - y   （即 b的补码）

水平有限，翻译的比较拗口，不过公式还是很简洁的，实际上补码从定义上来说并没有什么难懂的地方。不过有些地方需要加以说明，补码这个概念是建立在进制（即基数）的基础上的，至少在计算机科学的术语中，补码定义中的基数b是一定等于当前进制的，也就是说以上定义可以简化为

给出长度为n的数值y且该数值为b进制，则y的补码为： bⁿ - y

下面以十进制的数作为例子

给出数值y = 1234，很明显长度n = 4，基数b = 10（你说不知道10从哪来的？论审题的重要性）

根据补码的定义那么 y的补码为：10⁴ - 1234 = 8766

 

用途：补码的作用是什么呢？你走运啦，补码的用途很专一 —— 用加法操作来代替减法操作

听起来匪夷所思，你几乎要脱口而出：“不可能！！！”，不过按照国际惯例，我们先来看看到底怎么回事吧

这里要引入另一个很简单但是英文又很有bigger的术语： 缩小基数补码 （diminished radix complement），看到 diminished 这个词我立马打个激灵，想起了久未谋面的缩小增量排序（diminished increment sort），啥？你说老师没教过这个？噢，它的另一个名字叫希尔排序，它是。。。咳咳，不好意思跑题了。

缩小基数补码实际上就是 (bⁿ - 1) - y，就是说你可以通过往缩小基数补码上加个 1 来得到基数补码，也就是说

bⁿ - y = (bⁿ - 1) - y + 1

是不是想大喊一声：这TM不是废话么？？

这个概念有什么用？其实在纯数学的范畴内，这个纯属多余，没有任何用处。然而到了我这个年纪，就会明白一切看起来无意义的东西，肯定一定必须存在一个让它拥有意义的上下文环境。在本文内，这个环境就是“一个数值的长度”，你要知道在数学范围内，你想把一个数写多长就有多长，但是在计算机内数值长是固定的，譬如Java语言的int数值长度为32位，你无法用32位的数去表示33位数，当然34位就更不行了！

回到基数b这个关键字上面来，还是以十进制数为例子

假设数值长度为固定的4，给出数值y = 1234，如果说你真的要按照定义在计算机内去获得补码，你是做不到的，因为根据定义补码为10⁴ - 1234，然而10⁴  = 10000,已经超出了4位数所能表示的范围，你明白了么？缩小基数补码就是为了能在固定的数值长度中去获得补码，所以退一步海阔天空啊 

1. 10⁴ - 1 = 9999
2. 9999 - 1234 = 8765
3. 8765 + 1 = 8766

然而，聪明如你一定发现了，说是补码的用途是用加法代替减法，可是在以上第二步获得补码的关键步骤里，不还是要进行减法？？这有毛区别？哈，这个就是最让人兴奋的地方，在二进制世界里，你不需要再用减法了，下面以二进制为例子

给出数值y = 1011，那么很明显，按照最新的补码求解步骤，补码 = ( 2⁴ - 1 ) - 1011 + 1，猛然一看，这哪里履行了补码的承诺，用加法代替减法？那么我们就以二进制的视角去看

 y 　　 =  1011

2⁴ - 1   =  1111

实际上你已经发现了，这个缩小基数补码是固定的——给定计算机数值长度n，则缩小基数补码可以直接写出：pppp...ppp（n个p，p = 进制 - 1），而关键的

1111 - 1011，这一步实际上已经不需要作减法操作了，直接对 y 取反再加上 1 就能得到补码了（是不是对“取反加一”感到特别耳熟？你是个上课听课的好孩纸），在此不得不感谢伟大的二进制！需要再次声明下，这么流畅的操作只有二进制能完成，其他进制想要获得补码，依然需要减法。

终章：在神奇的二进制世界中，获得一个数的补码只需要简单的取反再加上一就可以了。那么最后我们来看看，补码到手之后，又怎么能代替减法呢？

假设需要求解 x - y ( x >= y)，那么分为以下步骤

1. 求得y的补码 bⁿ - y
2. x - y = x + ( bⁿ - y ) = x  - y +  bⁿ  （这一步用补码的加法代替了原数值的减法）
3. 显然 x  - y +  bⁿ >= bⁿ，然而bⁿ已经超出了数的表示范围（overflow），直接被丢弃了，最后的结果就等于x  - y