将一个序列调整为单调序列的最小代价问题

Posted 2023-05-10

给出一个长度最多达到3000的整数序列，我们可以改变这个序列的任意一个元素的值。对于这些改变，我们记下每次改变的代价，即改变后的元素值与改变前的元素值的差值的绝对值。每次改变的代价的总和就是调整的总代价。要求在代价最小的情况下，将序列调整成为一个单调的序列（单调性可以不严格，并且单调递增和单调递减均可）。那么，应该使用怎样的算法？
我觉得这是数学的内容啊...

个人觉得可以用取中值的办法：

代价最小，那就是要尽量顺着原序列。
平均分两部分，比较前后1500个数的均数，如果前面的比较大，那就调成递减，否则相反；
平均分四部分，以各自的均值为基准，再比较前后750个的均值。

依此类推。 参考技术A 回溯 贪心 动态规划
没有时限你还可以 递归模拟。。。

我觉得这是数学的内容啊...
题目最后都问你 应该使用怎样的算法了 肯定是计算机算法题 就是用回溯 贪心法 和动态规划
虽说数学与计算机有密切关系，但数学指提供个大致思路，配合计算机强大的计算功能模拟和典型的计算机算法，能很好的解决问题。 参考技术B 问错地方了吧，应该到电脑区去问。 参考技术C 具体问题回答.

bzoj1345[Baltic2007]序列问题Sequence 单调栈

题目描述

对于一个给定的序列a1, …, an，我们对它进行一个操作reduce(i)，该操作将数列中的元素ai和ai+1用一个元素max(ai，ai+1)替代，这样得到一个比原来序列短的新序列。这一操作的代价是max(ai，ai+1)。进行n-1次该操作后，可以得到一个长度为1的序列。我们的任务是计算代价最小的reduce操作步骤，将给定的序列变成长度为1的序列。

输入

第一行为一个整数n( 1 <= n <= 1,000,000 )，表示给定序列的长度。接下来的n行，每行一个整数ai（0 <=ai<= 1, 000, 000, 000），为序列中的元素。

输出

只有一行，为一个整数，即将序列变成一个元素的最小代价。

样例输入

3
1
2
3

样例输出

5

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题解

单调栈

本题卡set。。。

通过观察可以知道最优策略下，非最大值的数，一定是与它左右第一个比它大的数中较小的那个替代的。

那么就可以使用单调栈扫出每个位置左右第一个比它大的数，然后计算即可。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define N 1000010
using namespace std;
int a[N] , v[N] , sta[N] , top;
int main()
{
	int n , i;
	long long ans = 0;
	scanf("%d" , &n);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &a[i]);
	a[0] = a[n + 1] = 1 << 30 , top = 1;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
	{
		while(a[i] > a[sta[top]]) top -- ;
		v[i] = a[sta[top]] , sta[++top] = i;
	}
	top = 1 , sta[1] = n + 1;
	for(i = n ; i ; i -- )
	{
		while(a[i] >= a[sta[top]]) top -- ;
		v[i] = min(v[i] , a[sta[top]]) , sta[++top] = i;
		if(v[i] != 1 << 30) ans += v[i];
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}