《算法概论》第八章的一些课后题目 关于NP-Complete Problem

Posted 2020-09-27 逐雪

8.3 STINGY SAT 

STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an

integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment

exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

当我们有多项式时间算法解决SAT问题时，我们可以直接解决STINGY SAT

我们取k为变量的个数，如果我们找到了多项式时间的算法解决它，也就是解决了SAT问题。验证答案是显然快速的。

我们成功将SAT归约到了STINGY SAT 证明了 STINGY SAT 是NP-Complete problem

 

 

8.14  K-clique problem 

Prove that the following problem is NP-complete:given an undirected graph G=(V,E) and an integer k,

return a clique of size k as well as an independent set of size k,provided both exist.

 

首先，团和独立集是两个相对的概念，寻找k个元素的团和寻找k个元素的独立集是等价命题，这里不展开说明了。

 

书中已经给出了由3-SAT归约到k-独立集的证明，这里简单叙述一下

对于任意一个有k个clause的3SAT表达式，我们对于每个clause构造一个三点三边呈现三角形的子图，（共有k个三角形）

对于每个变量，两种相反的形式之间连一条边，如果能够找到k个元素的独立集，必然k个点分布在k个三角形，即选择了k个变量，使得表达式满足。验证满足性显然是快速的。

于是，当我们有多项式时间算法解决k独立集问题时，我们就一定有多项式时间算法解决3SAT问题，所以k独立集问题是NP-complete problem.

同样的，k独立集的等价命题 k-clique问题也是NP-complete的。

 

 

补充一道有趣的题目 ZOJ1492 

该题给定我们一个无向图，求最大团的点数是多少。图的规模小于等于50

这道题我找到了搜索的解法，但是我还没想到办法严格的分析这个dfs的复杂度，但是由于dfs不是记忆化的，所以我猜想它应该是指数复杂度的。

事实上要实现dfs的记忆化，就不得不用指数级的空间来储存数据，这也是无法接受的。

不过这道题的搜索剪枝技巧性还是很强的，毕竟指数级的算法能解决50的规模，已经很不错了。