OpenCASCADE Interpolations and Approximations

Posted 2020-06-24 OPEN CASCADE

OpenCASCADE Interpolations and Approximations

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Abstract. In modeling, it is often required to approximate or interpolate points to curves and surfaces. In interpolation, the process is complete when the curve or surface passes through all the points; in approximation, when it is as close to these points as possible. The paper is the translation of the OpenCASCADE Modeling Data user guide.

Key Words. Interpolation, Approximation, Fitting

1.Introduction

在几何造型中，经常会需要根据点去拟合（插值Interpolation或逼近Approximation）曲线曲面。插值要求拟合所得的曲线或曲面必须通过所有拟合点；而逼近要求拟合所得曲线或曲面尽可能地靠近全部拟合点。OpenCASCADE中提供了曲线曲面拟合的功能有：

v 对二维点进行二维B样条或Bezier曲线插值；

v 对二维点进行二维B样条或Bezier曲线逼近；

v 对三维点进行三维B样条或Bezier曲线或B样条曲面插值；

v 对三维点进行三维B样条或Bezier曲线或B样条曲面逼近；

程序中使用拟合功能有两种方式：

v 使用高级功能：提供简单的方法调用来获得拟合结果；

v 使用低级功能：专为想对拟合有更多控制的用户设计；

插值和逼近也是数值分析或计算方法中的主要内容。用B样条作为插值或逼近函数是数值分析中的一个具体方法。通过对OpenCASCADE中插值和逼近算法的学习，加深对一些算法，如最小二乘法，多元函数求极值等数学知识的理解。

本文主要是对OpenCASCADE的文档Modeling Data 中的插值和逼近部分进行翻译，并给出了使用其低级功能具体的代码示例。

2.Analysis of a set of points

包GProp中的类PEquation提供了对点集、点云数据进行分析的功能，可以用来验证在给定的精度范围内是否重合、共线或共面等，如果检测结果是，那么算法将计算出这些点的重合点、线或面。如果检测结果不是，则算法会计算出点集或点云的包围盒。

3.Basic Interpolation and Approximation

包Geom2dAPI和GeomAPI提供了拟合（逼近和插值）简单的方法。

v 2D Interpolation: 类Geom2dAPI_Interpolate可以用于生成一条通过一系列点的二维B样条曲线。如果需要，还可以设置点相应的切矢及参数来对插值曲线做进一步的约束。

v 3D Interpolation: 类GeomAPI_Interpolate可以用于生成一条通过一系列点的三维B样条曲线。如果需要，还可以设置点相应的切矢及参数来对插值曲线做进一步的约束。因为是高级功能，所以需要很少的代码就可以得到插值曲线，用法如下：

GeomAPI_Interpolate Interp(Points);

Handle_Geom_BSplineCurve C = Interp.Curve();

v 2D Approximation: 类Geom2dAPI_PointsToBSpline可以用于生成逼近一系列点的二维B样条曲线。你需要定义曲线次数范围，连续性和容差。容差值只是用来检查逼近点之间是不是有重合点，或者切矢是否太小。逼近曲线将会是C2连续或2次曲线，当有切矢约束时，将会得到C1连续的曲线。

v 3D Approximation:类GeomAPI_PointsToBSpline可以用于生成逼近一系列点的三维B样条曲线。你需要定义曲线次数范围，连续性和容差。容差值只是用来检查逼近点之间是不是有重合点，或者切矢是否太小。逼近曲线将会是C2连续或2次曲线，当有切矢约束时，将会得到C1连续的曲线。类的用法如下：

GeomAPI_PointsToBSpline Approx(Points, DegMin, DegMax, Continutity, Tol);

Handle_Geom_BSplineCurve K = Approx.Curve();

v Surface Approximation:类GeomAPI_PointsToBSplineSurface可以用于根据点集拟合B样条曲面。

4.Advanced Approximation

包AppDef和AppParCurves提供了低级的功能，允许对拟合有更多地控制。低级功能提供了如下函数接口API：

v 定义拟合切矢的规则，这些切矢有原点和极值；

v 根据各自参数平行地拟合一系列曲线；

v 光滑拟合：生成光顺（faired curve）的曲线。

注：包AppDef和AppParCurves中通过宏定义实现了一种类似多态的功能，但是程序调试不方便，导致一些类名没有看到声明文件，对程序的理解造成一些不便。

4.1 Approximation by multiple point constraints

包AppDef中提供了低级工具用于对带约束的点集进行Bezier或B样条曲线拟合。其中的功能有：

v 定义一组约束点，使用类AppDef_MultiPointConstraint；

v 定义一组约束线，使用类AppDef_MultiLine；

v 拟合Bezier曲线，使用类AppDef_Compute；

v 拟合B样条曲线，使用类AppDef_BSplineCompute；

v 定义变分标准Variational Criteria；

注：在类AppDef_Variational中可以看到Variational Optimization变分优化。对于工科出来的人来说，这些概念还真是有些陌生，还是学数学的人厉害！

其中类AppDef_MultiLine的用法也有点特别，通过文档中的图来理解下：

其中：Pi, Qi, Ri, ..., Si可以是二维点或三维点；

按组来定义，其中Pn, Qn, Rn, ..., Sn都是在类AppDef_MultiPointConstraint中定义；

P1, P2, .., Pn或Q, R,..., S的点系列用来拟合。

类AppDef_Compute用Bezier曲线来拟合点；

类AppDef_BSplineCompute用B样条曲线来拟合点；

注：需要仔细理解AppDef_MultiPointConstraint和AppDef_MultiLine的用法。

4.2  Example: How to approximate a curve with low-level tools

使用低级功能的过程可分为如下几步：

v 定义拟合点；

v 根据拟合点创建MultiLine；

v 使用AppDef_Compute或AppDef_BSplineCompute来拟合曲线；

下面给出使用低级功能的代码示例：

/*
*    Copyright (c) 2016 Shing Liu All Rights Reserved.
*
*           File : main.cpp
*         Author : Shing Liu([email protected])
*           Date : 2016-03-17 21:00
*        Version : OpenCASCADE6.9.0
*
*    Description : test the low-level tools of approximation.
*/

#define WNT

#include <TColgp_Array1OfPnt.hxx>

#include <AppDef_MultiPointConstraint.hxx>
#include <AppDef_MultiLine.hxx>
#include <AppDef_Compute.hxx>
#include <AppDef_BSplineCompute.hxx>

#pragma comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma comment(lib, "TKMath.lib")
#pragma comment(lib, "TKGeomBase.lib")


void testBezierApprox()
{
    TColgp_Array1OfPnt aPoints(1, 3);
    aPoints.SetValue(1, gp_Pnt(0.0, 0.0, 0.0));
    aPoints.SetValue(2, gp_Pnt(1.0, 0.0, 0.0));
    aPoints.SetValue(3, gp_Pnt(1.0, 1.0, 0.0));

    AppDef_MultiLine aMultiLine(aPoints);

    AppDef_Compute aBezierApprox(aMultiLine);
    aBezierApprox.Value().Dump(std::cout);

}

void testBSplineApprox()
{
    AppDef_MultiLine aMultiLine(3);

    AppDef_MultiPointConstraint aMPC1(2, 0);
    AppDef_MultiPointConstraint aMPC2(2, 0);
    AppDef_MultiPointConstraint aMPC3(2, 0);

    aMPC1.SetPoint(1, gp_Pnt(0.0, 0.0, 0.0));
    aMPC1.SetPoint(2, gp_Pnt(0.0, 2.0, 0.0));

    aMPC2.SetPoint(1, gp_Pnt(1.0, 0.0, 0.0));
    aMPC2.SetPoint(2, gp_Pnt(1.0, 2.0, 0.0));

    aMPC3.SetPoint(1, gp_Pnt(1.0, 1.0, 0.0));
    aMPC3.SetPoint(2, gp_Pnt(1.0, 3.0, 1.0));

    aMultiLine.SetValue(1, aMPC1);
    aMultiLine.SetValue(2, aMPC2);
    aMultiLine.SetValue(3, aMPC3);

    AppDef_BSplineCompute aBSplineApprox(aMultiLine);
    aBSplineApprox.Value().Dump(std::cout);
}

int main(int argc, char* argv[])
{
    testBezierApprox();

    testBSplineApprox();

    return 0;
}

程序运行结果如下图所示：

5.Conclusion

关于点的插值和逼近是《数据逼近》或《数值分析》或《计算方法》书中关注的内容。从文档中可以看到包AppDef中的一些关键字：Gradient, BFGS, LeastSquare等，根据这些关键字可以看出OpenCASCADE中逼近使用的算法了。

通过使用AppDef_MultiPointConstraint及AppDef_MultiLine等低级接口，来理解拟合数据点输入及拟合结果的输出。进而去学习BFGS、LeastSquare等数学理论工具在实际中的应用。对于多元函数，梯度及BFGS等概念还好接受，对于变分法优化之类理论已经超出了工科数学的范围，不过结合实际去学习这些概念应该会更有效率。