vijos 拓扑编号

Posted 2020-09-26 ioioioioioio

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了vijos 拓扑编号相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

H国有n个城市，城市与城市之间有m条单向道路，满足任何城市不能通过某条路径回到自己。

现在国王想给城市重新编号，令第i个城市的新的编号为a[i]，满足所有城市的新的编号都互不相同，并且编号为[1,n]之间的整数。国王认为一个编号方案是优美的当且仅当对于任意的两个城市i,j，如果i能够到达j，那么a[i]应当<a[j]。

优美的编号方案有很多种，国王希望使1号城市的编号尽可能小，在此前提下，使得2号城市的编号尽可能小...依此类推。

格式

输入格式

第一行读入n,m，表示n个城市，m条有向路径。

接下来读入m行，每行两个整数:x,y
表示第x个城市到第y个城市有一条有向路径。

输出格式

输出一行:n个整数
第i个整数表示第i个城市的新编号a[i]，输出应保证是一个关于1到n的排列。

样例1

样例输入1

样例输出1

2 3 5 1 4

限制

每个测试点1s

提示

30%的测试点满足：n <= 10, m <= 10
70%的测试点满足：n <= 1000, m <= 10000
100%的测试点满足：n <= 100000, m <= 200000
输入数据可能有重边，可能不连通，但保证是有向无环图。

来源

Topcoder

/*逆拓扑+贪心，从后往前，先找编号最大的

证明：
    假设我们按逆拓扑排序的方法求出了一个拓扑序列（把得到的反序列正过来）,记为A。
    假设最优解的拓扑序列是B。
    从后往前比较AB,设在位置k,AB第一次出现不同。即A[k]!=B[k],A[p]=B[p].
    显然根据我们的贪心策略"每次取的是编号最大的"，有A[k]>B[k].
    那么我们在B中取寻找A[k],即找到B[p]=A[k].
    然后把B中B[p],B[p+1]...B[k]这一段拿出来,记为序列C。
    因为B[p]=A[k] , 把B[p]换成A[k],C=A[k],B[p+1]....B[k].
    很显然在C中A[k]不是最小的,因为至少B[k]比它小。 假设C中最小的是B[q],那么我们可以构造出一个序列D.
    D=B[p+1],B[p+2]...B[q],A[k],B[q+1]...B[k]. (实质就是把A[k]移到B[q]的后面）
    显然这个序列会比序列C更优,因为B[q]的名次靠前了一名。 那么如果把C换成D会更优,与B是最优解矛盾。
    那么怎么知道序列D一定是合法的呢？因为如果A[k]恰好是B[p+1]的前驱,那么就不能把A[k]移走。
    所以我们回到序列A,序列A中A[k]是AB序列从右往左第一个不同的元素,那么在A中,B[p+1]肯定是在A[k]前面的,所以A[k]不可能是B[p+1]的前驱。
    综上,我们得到的答案就是最优解。

如果不理解，按照样例举个例子
         4 -> 1 -> 3 <-5 <-2;
        如果贪心，每次找入度为0的点，若有多点，找编号小的点：
            第一次找到 2;
            第二次找到 4;
            第三次找到 1;
            第四次找到 5;
            第五次找到 3；
        这显然是错误的：

        按照上面方法 逆拓扑，从后往前，先找编号最大的
        1ci find 3, 3 number 5;
        2ci find 5, 5 number 4;
        3ci find 2, 2 number 3;
        4ci fine 1, 1 number 2;
        5ci fine 4, 4 number 1;
        fit answer;
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<queue>

using namespace std;
const int maxn = 100000 + 10;
const int maxm = 200000 + 10;

int n, m;
int cloc;
int cnt[maxn], id[maxn];
vector<int> G[maxn];
priority_queue<int> Q;

int main () 
{
    scanf("%d%d",&n,&m); 
    while (m--) 
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        u--;
        v--;
        cnt[u]++;
        G[v].push_back(u);
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) if (!cnt[i])
            Q.push(i);
    cloc = n;
    while (!Q.empty()) 
    {
        int u = Q.top();
        Q.pop();
        id[u] = cloc--;
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) 
        {
            int v = G[u][i];
            cnt[v]--;
            if (cnt[v] == 0) Q.push(v);
        }
    }
    for (int i = 0; i < n; i++) printf("%d ", id[i]);
    return 0;
}