BZOJ4373算术天才⑨与等差数列 [线段树]

Posted 2020-09-26 BearChild

算术天才⑨与等差数列

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Description

　　算术天才⑨非常喜欢和等差数列玩耍。
　　有一天，他给了你一个长度为n的序列，其中第i个数为a[i]。
　　他想考考你，每次他会给出询问l,r,k，问区间[l,r]内的数从小到大排序后能否形成公差为k的等差数列。
　　当然，他还会不断修改其中的某一项。
　　为了不被他鄙视，你必须要快速并正确地回答完所有问题。
　　注意：只有一个数的数列也是等差数列。

Input

　　第一行包含两个正整数n,m，分别表示序列的长度和操作的次数。
　　第二行包含n个整数，依次表示序列中的每个数a[i]。
　　接下来m行，每行一开始为一个数op，
　　若op=1，则接下来两个整数x,y，表示把a[x]修改为y。
　　若op=2，则接下来三个整数l,r,k，表示一个询问。
　　在本题中，x,y,l,r,k都是经过加密的，都需要异或你之前输出的Yes的个数来进行解密。

Output

输出若干行，对于每个询问，如果可以形成等差数列，那么输出Yes，否则输出No。

Sample Input

　　5 3
　　1 3 2 5 6
　　2 1 5 1
　　1 5 4
　　2 1 5 1

Sample Output

　　No
　　Yes

HINT

　　1<=n,m<=300000, 0<=a[i]<=10^9, 1<=x<=n，0<=y<=10^9, 1<=l<=r<=n, 0<=k<=10^9

Solution

　　显然，如果可以组成等差数列，首项必定是区间最小值。这样我们就知道了要求的等差数列的首项和公差。

　　一个首先的想法就是：我们判断一下区间和是否等于所要求的等差数列的和。

　　但是这样显然是不够的，那么怎么办呢？我们试想：能否求出所要求的等差数列的平方和？

　　显然公差为 1 的时候用平方和公式计算，剩下公差不是 1 的时候我们轻易推一下式子即可。

　　

　　那么我们只要用线段树维护一下：区间最小值、区间和、区间平方和即可，资磁单点修改。

　　正确性不会证明啊，但是满足的概率应该挺大的吧qwq

Code

  1 #include<iostream>    
  2 #include<string>    
  3 #include<algorithm>    
  4 #include<cstdio>    
  5 #include<cstring>    
  6 #include<cstdlib>
  7 #include<cmath>
  8 #include<queue>
  9 using namespace std;  
 10 typedef long long s64;
 11  
 12 const int ONE = 500005;
 13 const int INF = 1e9+7;
 14  
 15 int n, T;
 16 s64 a[ONE];
 17 int opt, x, y, d;
 18 int num;
 19  
 20 struct power
 21 {
 22         s64 sumx, sumxx, minx;
 23 }Node[ONE * 4], res;
 24  
 25 int get()
 26 {    
 27         int res=1,Q=1;char c;    
 28         while( (c=getchar())<48 || c>57 ) 
 29         if(c==\'-\')Q=-1; 
 30         res=c-48;     
 31         while( (c=getchar())>=48 && c<=57 )    
 32         res=res*10+c-48;    
 33         return res*Q;
 34 }
 35  
 36 void Renew(int i)
 37 {
 38         int a = i<<1, b = i<<1|1;
 39         Node[i].sumx = Node[a].sumx + Node[b].sumx;
 40         Node[i].sumxx = Node[a].sumxx + Node[b].sumxx;
 41         Node[i].minx = min(Node[a].minx, Node[b].minx);
 42 }
 43  
 44 void Build(int i, int l, int r)
 45 {
 46         Node[i].minx = INF;
 47         if(l == r)
 48         {
 49             Node[i].minx = a[l];
 50             Node[i].sumx = a[l];
 51             Node[i].sumxx = a[l] * a[l];
 52             return;
 53         }
 54          
 55         int mid = l + r >> 1;
 56         Build(i<<1, l, mid);  Build(i<<1|1, mid+1, r);
 57         Renew(i);
 58 }
 59  
 60 void Update(int i, int l, int r, int L, s64 x)
 61 {
 62         if(l > r) return;
 63         if(L == l && l == r)
 64         {
 65             Node[i].minx = x;
 66             Node[i].sumx = x;
 67             Node[i].sumxx = x * x;
 68             return;
 69         }
 70          
 71         int mid = l + r >> 1;
 72         if(L <= mid) Update(i<<1, l, mid, L, x);
 73         else Update(i<<1|1, mid+1, r, L, x);
 74         Renew(i);
 75 }
 76  
 77 void Query(int i, int l, int r, int L, int R)
 78 {
 79         if(L <= l && r <= R)
 80         {
 81             res.minx = min(res.minx, Node[i].minx);
 82             res.sumx += Node[i].sumx;
 83             res.sumxx += Node[i].sumxx;
 84             return;
 85         }
 86          
 87         int mid = l + r >> 1;
 88         if(L <= mid) Query(i<<1, l, mid, L, R);
 89         if(mid+1 <= R) Query(i<<1|1, mid+1, r, L, R); 
 90 }
 91  
 92 s64 Calc_sumx(s64 a0, s64 n, s64 d)
 93 {
 94         s64 an = a0 + (n-1) * d;
 95         return (a0 + an) * n / 2;
 96 }
 97  
 98 s64 Calc_sumxx(s64 a0, s64 n, s64 d)
 99 {
100         s64 item1 = n * a0 * a0;
101         s64 item2 = 2 * a0 * d * n * (n-1) / 2;
102         s64 item3 = d * d * (n * (n+1) * (2*n+1) / 6 - n*n);
103         return item1 + item2 + item3;
104 }
105  
106 int main()
107 {
108         n = get();  T = get();
109         for(int i=1; i<=n; i++)
110             a[i] = get();
111         Build(1, 1, n);
112          
113         while(T--)
114         {
115             opt = get();
116             x = get() ^ num;    y = get() ^ num;
117              
118             if(opt == 1)
119             {
120                 Update(1, 1, n, x, y);
121                 continue;
122             }
123             else
124             {
125                 d = get() ^ num;
126                 res.minx = INF;
127                 res.sumx = res.sumxx = 0;
128                 Query(1, 1, n, x, y);
129                  
130                 if(res.sumx == Calc_sumx(res.minx, y-x+1, d))
131                 if(res.sumxx == Calc_sumxx(res.minx, y-x+1, d))
132                 {
133                     printf("Yes\\n");
134                     num++;
135                     continue;
136                 }
137                  
138                 printf("No\\n");
139             }
140         }
141          
142 }

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