求两个正方形重叠部分的面积是怎样变化的？

Posted 2023-05-09

如图，两个边长均为1的正方形ABCD和正方形OPQR中，点O恰好是正方形ABCD的中心。当正方形OPQR绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是怎样变化的？你可以求出重叠部分的面积吗？
为什么答案是恒为1/4？

面积不变，恒为1/4。
连线OD,OA，设OP上的交点为M，OR上交点为N，则三角形OMD面积恒=ONA面积，因为2个三角形的三边相等，很简单证明。所以面积不变，恒为1/4。 参考技术A 在第一个正方形ABCD与第二个正方形OPQR重合的地方，以中心O和正方形ABCD的一个在影音部分的顶点做一条辅助线，然后分别求两个三角形的面积，最后可得恒为1/4

计算两个矩形之间的重叠面积

【中文标题】计算两个矩形之间的重叠面积

【英文标题】：Calculate overlapped area between two rectangles

【发布时间】：2015-01-25 00:03:38

【问题描述】：

我想计算红色和蓝色矩形之间的重叠区域“灰色区域”。

每个矩形由其四个角坐标定义。重叠区域的结果单位是单位正方形。

我无法想象我该怎么做？

任何有创意的 cmets 都将不胜感激。

【问题讨论】：

那么你的问题到底是什么？如果你知道所有的角点，你可以很容易地计算出相交矩形的角。角坐标和min 和max 函数应该是你所需要的。

shapely可以计算相交矩形的角吗？

我不知道。但是，我很确定您可以弄清楚如何自己计算这些角。只要看看左上角：要在交叉路口，你必须有一个 x_coord 至少与红色和蓝色左端的最大值一样大，并且 y_coord 至多红色和蓝色上端的最小值......你有四个角点中的每一个都有类似的参数。

这很容易，但主要问题是符号。你如何在你的代码中定义一个矩形？例如，一个元组的值如下：(xmin, ymin, xmax, ymax) 等？

@tom10 矩形的每个角定义为(x,y)坐标值，如你所说，可以用来获取(xmin, ymin, xmax, ymax)。

【参考方案1】：

由于这篇文章与计算机视觉和对象检测有很大关系，我想放一些代码，用于查找边界框的交集以及查找框的 IOU。此代码最初由 Adrian RoseBrock 在this blog post 开发：

这是模块（我将其命名为 bbox）：

class Bbox:
    def __init__(self, x1, y1, x2, y2):
        self.x1 = max(x1, x2)
        self.x2 = min(x1, x2)
        self.y1 = max(y1, y2)
        self.y2 = max(y1, y2)
        self.box = [self.x1, self.y1, self.x2, self.y2]
        self.width = abs(self.x1 - self.x2)
        self.height = abs(self.y1 - self.y2)

    @property
    def area(self):
        """
        Calculates the surface area. useful for IOU!
        """
        return (self.x2 - self.x1 + 1) * (self.y2 - self.y1 + 1)

    def intersect(self, bbox):
        x1 = max(self.x1, bbox.x1)
        y1 = max(self.y1, bbox.y1)
        x2 = min(self.x2, bbox.x2)
        y2 = min(self.y2, bbox.y2)
        intersection = max(0, x2 - x1 + 1) * max(0, y2 - y1 + 1)
        return intersection

    def iou(self, bbox):
        intersection = self.intersection(bbox)

        iou = intersection / float(self.area + bbox.area - intersection)
        # return the intersection over union value
        return iou

并使用它：

a = Bbox([516, 289, 529, 303])
b = Bbox([487, 219, 533, 342])

result = a.intersect(b)

我希望它对你有用。

【参考方案2】：

由于这个问题有一个shapely 标签，这里有一个使用它的解决方案。我将使用与tom10 answer 中相同的矩形：

from shapely.geometry import Polygon

polygon = Polygon([(3, 3), (5, 3), (5, 5), (3, 5)])
other_polygon = Polygon([(1, 1), (4, 1), (4, 3.5), (1, 3.5)])
intersection = polygon.intersection(other_polygon)
print(intersection.area)
# 0.5

这比接受答案中的版本简洁得多。您不必构建自己的 Rectangle 类，因为 Shapely 已经提供了 the ready ones。它不太容易出错（找出area 函数中的逻辑）。而且代码本身是不言自明的。

---

参考：Docs for object.intersection(other) method

【讨论】：

@quant 不，Shapely 只能用于平面几何计算。

据你所知，高维有没有类似的东西？

@quant 我从未使用过 3 维或更多维的几何图形。谷歌搜索提供以下链接。也许他们可以提供任何帮助：3D Geometry Package for Python、Geometric Computing with Python、Open3D。

【参考方案3】：

这种类型的交集很容易通过“最大值的最小值”和“最小值的最大值”的想法来完成。要写出来，需要对矩形有一个特定的概念，为了清楚起见，我将使用一个命名元组：

from collections import namedtuple
Rectangle = namedtuple('Rectangle', 'xmin ymin xmax ymax')

ra = Rectangle(3., 3., 5., 5.)
rb = Rectangle(1., 1., 4., 3.5)
# intersection here is (3, 3, 4, 3.5), or an area of 1*.5=.5

def area(a, b):  # returns None if rectangles don't intersect
    dx = min(a.xmax, b.xmax) - max(a.xmin, b.xmin)
    dy = min(a.ymax, b.ymax) - max(a.ymin, b.ymin)
    if (dx>=0) and (dy>=0):
        return dx*dy

print area(ra, rb)
#  0.5 

如果您不喜欢 namedtuple 表示法，您可以使用：

dx = max(a[0], b[0]) - min(a[2], b[2])

等等，或者你喜欢的任何符号。

【讨论】：

感谢接受，但即使蓝色多边形位于红色多边形的左侧，您的代码是否仍然有效？

@just：是的，无论哪种方式都可以。使用最大和最小方法只是一种简单的方法，否则将是一组复杂的条件来确定相对位置。也就是说，将max(a.xmin, b.xmin) 读作“最左角”等。此外，我将答案更改为现在包括矩形不相交的情况。

如何得到重叠面积百分比？

@SanthoshDhaipuleChandrakanth：最好单独提出一个问题。例如，这里不清楚您所说的百分比是什么意思，具体来说，重叠区域很清楚，您将其与哪个区域进行比较——最大面积、两个初始矩形的面积等？

请注意：一定要使用正确的点——在笛卡尔坐标轴上，“左上角”是 x.min，但 y.max。在显示器上，x.min, y.min 在左上角，x.max, y.max 在右下角。