bzoj3996 [TJOI2015]线性代数

Posted 2020-09-26 wfj_2048

Description

给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得

D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D

Input

第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.

接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。

Output

输出最大的D

Sample Input

3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7

Sample Output

2

HINT

 1<=N<=500

 

正解：最大权闭合图。

翻译一下题意：在$[1,n]$中选出一些数，选出这个数$i$以后第$i$行和第$i$列都会被选到，获得一些贡献，同时产生$c[i]$的代价。问怎样选行列使得贡献最大，求出最大贡献。

我们注意到，如果第$i$行第$j$列的数选了，那么$c[i]$和$c[j]$也都要选。这相当于是一些贡献依赖于一些代价。那么我们直接建出最大权闭合图，用正权和减去最小割即可。听说代价向贡献连边跑得更快？于是我也这么写了。。

 

 1 //It is made by wfj_2048~
 2 #include <algorithm>
 3 #include <iostream>
 4 #include <cstring>
 5 #include <cstdlib>
 6 #include <cstdio>
 7 #include <vector>
 8 #include <cmath>
 9 #include <queue>
10 #include <stack>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define inf (1<<30)
14 #define NN (500010)
15 #define N (510)
16 #define il inline
17 #define RG register
18 #define ll long long
19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
20 
21 using namespace std;
22 
23 struct edge{ int nt,to,flow,cap; }g[5000010];
24 
25 int head[NN],dis[NN],q[NN],a[N][N],b[N][N],c[N],d[N],n,S,T,sz,ans,num=1;
26 
27 il int gi(){
28     RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
29     while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
30     if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
31     while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
32     return q*x;
33 }
34 
35 il void insert(RG int from,RG int to,RG int cap){
36     g[++num]=(edge){head[from],to,0,cap},head[from]=num; return;
37 }
38 
39 il int bfs(RG int S,RG int T){
40     for (RG int i=1;i<=sz;++i) dis[i]=0;
41     RG int h=0,t=1; q[t]=S,dis[S]=1;
42     while (h<t){
43     RG int x=q[++h],v;
44     for (RG int i=head[x];i;i=g[i].nt){
45         v=g[i].to;
46         if (!dis[v] && g[i].cap>g[i].flow){
47         q[++t]=v,dis[v]=dis[x]+1;
48         if (v==T) return 1;
49         }
50     }
51     }
52     return 0;
53 }
54 
55 il int dfs(RG int x,RG int T,RG int a){
56     if (x==T || !a) return a; RG int flow=0,f;
57     for (RG int i=head[x],v;i;i=g[i].nt){
58     v=g[i].to;
59     if (dis[v]==dis[x]+1 && g[i].cap>g[i].flow){
60         f=dfs(v,T,min(a,g[i].cap-g[i].flow));
61         if (!f){ dis[v]=-1; continue; }
62         g[i].flow+=f,g[i^1].flow-=f;
63         flow+=f,a-=f; if (!a) return flow;
64     }
65     }
66     return flow;
67 }
68 
69 il int maxflow(RG int S,RG int T){
70     RG int flow=0;
71     while (bfs(S,T)) flow+=dfs(S,T,inf);
72     return flow;
73 }
74 
75 il void work(){
76     n=gi(),S=++sz,T=++sz;
77     for (RG int i=1;i<=n;++i)
78     for (RG int j=1;j<=n;++j){
79         a[i][j]=++sz,b[i][j]=gi(),ans+=b[i][j];
80         insert(a[i][j],T,b[i][j]),insert(T,a[i][j],0);
81     }
82     for (RG int i=1;i<=n;++i)
83     c[i]=gi(),d[i]=++sz,insert(S,d[i],c[i]),insert(d[i],S,0);
84     for (RG int i=1;i<=n;++i)
85     for (RG int j=1;j<=n;++j)
86         if (i!=j){
87         insert(d[i],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[i],0);
88         insert(d[j],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[j],0);
89         } else insert(d[i],a[i][j],inf),insert(a[i][j],d[i],0);
90     printf("%d\n",ans-maxflow(S,T)); return;
91 }
92 
93 int main(){
94     File("linear");
95     work();
96     return 0;
97 }