816E. Karen and Supermarket 树形DP

Posted 2020-09-26 ( m Lweleth)

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题意：给出n个商品，除第一个商品外，所有商品可以选择使用优惠券，但要求其前驱商品已被购买，问消费k以下能买几个不同的商品

思路：题意很明显就是树形DP。对于一个商品有三种选择，买且使用优惠券，买不使用优惠券，不买。当然如果直接暴力进行转移是$O(n^3)$的，但我们可以统计每个结点其子节点的个数sz，sz~0地来遍历，这样就可以将某节点与其父节点进行转移，从而避免了多余无效的转移，优化到$O(n^2)$。dp[k][i][j]代表 k是否不使用优惠券，以i为父节点 购买j个商品的最小花费。

/** @Date    : 2017-07-01 15:38:39
  * @FileName: 816E 树形DP.cpp
  * @Platform: Windows
  * @Author  : Lweleth ([email protected])
  * @Link    : https://github.com/
  * @Version : $Id$
  */
#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair
#define MP(x, y) make_pair((x),(y))
#define fi first
#define se second
#define PB(x) push_back((x))
#define MMG(x) memset((x), -1,sizeof(x))
#define MMF(x) memset((x),0,sizeof(x))
#define MMI(x) memset((x), INF, sizeof(x))
using namespace std;

const LL INF = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5+20;
const double eps = 1e-8;

LL n, m;
LL c[N], b[N];
LL dp[2][5010][5010];
int sz[5010];
vector edg[5010];

int dfs(int x, int pre)
{
	sz[x] = 1;
	dp[1][x][0] = 0;
	dp[1][x][1] = c[x];//不用优惠券
	dp[0][x][1] = c[x] - b[x];//用优惠券
	for(auto np:edg[x])
	{
		if(np == pre)
			continue;
		dfs(np, x);
		for(int i = sz[x]; i >= 0; i--)//
		{
			for(int j = sz[np]; j >= 0; j--)
			{
				dp[0][x][i + j] = min(dp[0][x][i + j], dp[0][x][i] + min(dp[1][np][j], dp[0][np][j]));
				dp[1][x][i + j] = min(dp[1][x][i + j], dp[1][x][i] + dp[1][np][j]);
			}
		}
		sz[x] += sz[np];
	}
}
int main()
{
	while(cin >> n >> m)
	{
		MMF(sz);
		MMI(dp);
		int t;
		scanf("%lld%lld", c + 1, b + 1);
		for(int i = 2; i <= n; i++)
		{
			scanf("%lld%lld%d", c + i, b + i, &t);
			edg[t].PB(i);
		}
		dfs(1, -1);
		for(int i = n; i >= 0; i--)
		{
			LL mi = min(dp[1][1][i], dp[0][1][i]);
			if(mi <= m)
			{
				printf("%d\n", i);
				break;
			}
		}
	}
    return 0;
}