Vijos 连续数之和 (组合数学)

Posted 2020-09-26 心之所向 素履以往

描述

有n个正整数排成一行。你的目的是要从中取出一个或连续的若干个数，使它们的和能够被k整除。

例如，有6个正整数，它们依次为1、2、6、3、7、4。若k=3，则你可以取出1、2、6，或者2、6、3、7，也可以仅仅取出一个6或者3使你所取的数之和能被3整除。当然，满足要求的取法不止以上这4种。事实上，一共有7种取法满足要求。

给定n和k，以及这n个数。你的任务就是确定，从这n个数中取出其中一个数或者若干连续的数使它们的和能被k整除有多少方法。

由于取法可能很多，因此你只需要输出它mod 1234567的值即可。

格式

输入格式

第一行有两个正整数，分别代表n和k。输入数据保证有n<=500 000，k<=100 000。

以下n行每行一个正整数。这些正整数保证都不大于10 000。

输出格式

一个正整数。它应该是你的答案mod 1234567的结果。

样例1

样例输入1

6 3
1
2
6
3
7
4

Copy

样例输出1

7

Copy

限制

各个测试点1s

来源

Matrix67 根据经典问题改编

 

 1 /*
 2     我们设sum为前缀和 
 3     首先要知道
 4     (sum[j]-sum[i])%k==0 --> sum[j]%k==sum[i]%k
 5     假设 sum[k]==sum[l]  那么 sum[k]-sum[l]==0
 6     也就是 在[l+1,k]这段区间连续的和可以被k整除
 7     那么假设 sum[i],sum[j],..sum[k]（共bn个） 
 8     都是 MOD k 余数为k-1的sum 
 9     只需要从中任意取两个 就可以构成一个连续的区间的和可以整除k
10     
11     注意余数为0 要单独加一次 
12 */
13 #include<cstdio>
14 #include<iostream>
15 #define MAXN 500010
16 #define MOD 1234567
17 
18 using namespace std;
19 
20 int n,k;
21 long long ans,a[MAXN];
22 
23 int b[100010];
24 
25 inline void read(int&x) {
26     x=0;int f=1;char c=getchar();
27     while(c>‘9‘||c<‘0‘) {if(c==‘-‘) f=-1;c=getchar();}
28     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘) {x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
29     x=x*f;
30 }
31 
32 inline int c(int N,int M) {
33     return (N*(N-1)/2)%MOD;
34 }
35 
36 int main() {
37     int temp=0;
38     read(n);read(k);
39     for(int i=1;i<=n;i++) {
40         read(temp);
41         a[i]=a[i-1]+temp;
42         ++b[a[i]%k];
43     }
44     ans+=b[0];
45     for(int i=0;i<k;i++) {
46         if(b[i]>=2)
47           ans=(ans+c(b[i],2))%MOD;
48     }
49     printf("%lld\n",ans);
50     return 0;
51 }

代码