HDU4992 求所有原根
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Primitive Roots
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Problem Description
We say that integer x, 0 < x < n, is a primitive root modulo n if and only if the minimum positive integer y which makes xy = 1 (mod n) true is φ(n) .Here φ(n) is an arithmetic function that counts the totatives of n, that is, the positive integers less than or equal to n that are relatively prime to n. Write a program which given any positive integer n( 2 <= n < 1000000) outputs all primitive roots of n in ascending order.
Input
Multi test cases.
Each line of the input contains a positive integer n. Input is terminated by the end-of-file seperator.
Each line of the input contains a positive integer n. Input is terminated by the end-of-file seperator.
Output
For each n, outputs all primitive roots of n in ascending order in a single line, if there is no primitive root for n just print -1 in a single line.
Sample Input
4 25
Sample Output
3 2 3 8 12 13 17 22 23
这个题大概就是要你把一个数的所有比它小的原根求出来。
所谓原根就是说，对于一个数n,xk≡1(mod n)的最小正整数k是φ(n)，那么就称x是n的原根。
题目里面也讲了。φ(n)就是欧拉函数。
原根有很多美丽的性质。比如说：
- 有原根的数只有2,4,p^n,2p^n(p为质数,n为正整数)。
- 一个数的最小原根的大小是O(n0.25)的。
- 如果g为n的原根，则gd为m的原根的充要条件是(d,φ(n))=1；
- 如果n有原根，它的原根个数为φ(φ(n))。
那么来看一下这道题：
首先根据性质1，我们可以通过预处理质数，把不存在的情况判掉。
然后根据性质3，找到一个原根后枚举次方判gcd就可以了。
怎么找到一个原根呢？按照性质2傻傻去跑在这种多组数据的题目里是肯定不行的。
那么有一个喜大普奔的结论来帮助我们：
因为gφ(n)≡1(mod n)，而对于比φ(n)小的数都不成立。
枚举φ(n)的质因子p，看gφ(n)/p在模意义下是否是1。
是1的话g就不是原根。
证明起来有点麻烦，这里就不写了。
所以找原根大概是O(n0.25/2)的。
找到之后枚举次方就可以了，因为是充分条件。
想剪个好枝却剪烂的某人在HDU上留下了5个WA... ...
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <algorithm> #include <vector> #include <cstring> #include <queue> #define LL long long int #define ls (x << 1) #define rs (x << 1 | 1) #define MID int mid=(l+r)>>1 using namespace std; const int N = 1000000+10; int P[N],vis[N],phi[N],tot,n; inline int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;} inline void prepare() { phi[1]=1; for(int i=2;i<N;++i){ if(!vis[i])P[++tot]=i,phi[i]=i-1; for(int j=1;j<=tot;++j){ if(i*P[j]>=N)break; vis[i*P[j]]=1; if(i%P[j])phi[i*P[j]]=phi[i]*phi[P[j]]; else{phi[i*P[j]]=phi[i]*P[j];break;} } } } inline int QPow(int d,int z,int Mod) { int ans=1; for(;z;z>>=1,d=1ll*d*d%Mod)if(z&1)ans=1ll*ans*d%Mod; return ans; } inline bool check(int x) { if(x==2 || x==4)return 1; if((x&1)^1)x>>=1; for(int i=2;P[i]<=x;++i) if(x%P[i]==0){ while(x%P[i]==0)x/=P[i]; return x==1?P[i]:0; } return 0; } inline int get_rg(int fx) { int pt[1010],tt=0,Txd=phi[fx]; for(int i=1;P[i]*P[i]<=Txd;++i) if(Txd%P[i]==0){ pt[++tt]=P[i]; while(Txd%P[i]==0)Txd/=P[i]; } if(Txd!=1)pt[++tt]=Txd; for(int i=2;i<=fx;++i) if(QPow(i,phi[fx],fx)==1){ int flag=1; for(int j=1;j<=tt;++j) if(QPow(i,phi[fx]/pt[j],fx)==1){ flag=0;break; } if(flag)return i; } return 0; } inline void work(int fx) { int tt=0,pr[N]; if(fx==2){printf("1\n");return;} if(fx==4){printf("3\n");return;} int T=check(fx); if(!T){printf("-1\n");return;} int g=get_rg(fx); for(int i=1,k=g;i<phi[fx];++i,k=1ll*k*g%fx) if(gcd(i,phi[fx])==1) pr[++tt]=k; sort(pr+1,pr+tt+1); for(int i=1;i<tt;++i) printf("%d ",pr[i]); printf("%d",pr[tt]); printf("\n"); } int main() { prepare(); while(scanf("%d",&n)!=EOF)work(n); return 0; }
以上是关于HDU4992 求所有原根的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
hdu 4992 Primitive Roots 求原根模板
原根二连 HDU 4992 && poj 1284 Primitive Roots