BZOJ4555求和（cdq分治+NTT）

Posted 2020-09-26 人活着就是为了Chelly

题意：

输出f(n)对998244353(7 × 17 × 223 + 1)取模的结果。1 ≤ n ≤ 100000

其中S(i,j)是第二类Stirling数，即有i个球，丢到j个盒子中，要求盒子不为空的方案总数

S(i,j)=S(i-1,j-1)+j*S(i-1,j) （前面一项表示第i个球单独放到一个盒子中，后面一项表示放到前面j个盒子中的某一个）

分析：

首先这个n不是丧心病狂的大，所以感觉可以求i=1时的结果,i=2时的结果,i=3时的结果……，于是可以不看第一个Σ

我们考虑后面的这项

这个表示有n个球，要丢到i个盒子中，这些盒子是有序的，并且球在盒子中有两种状态

 换个方式枚举，枚举最后一个盒子中球的个数，那么有

右边这个有卷积的感觉了，再来弄一下，将组合公式带进去

令G(n)=g(n)/n!

那么有

这个inv(n-i)表示模意义下(n-i)!的逆元，这个预处理很简单

问题是这个并不是很简单的卷积，因为卷积是A(n)=ΣB(i)*C(n-i)，但这里A=C

 这里可以采取cdq分治的思想

 我们要求G(l..r)

第一步：求G(l..mid)

第二步：求G(l..mid)对G(mid+1,r)的影响

第三步：求G(mid+1,r)

具体说下第二步

这时候G(l,mid)都已经确定了，它们对G(mid+1)的贡献是容易发现就是G(0,mid-l)和inv(0,r-l)的卷积

所以就是cdq分治过程中进行FFT

但因为这题数字很大，所以用FFT会出现精度上的问题

而且这题模数那么特殊，所以直接上NTT……

T(n)=T(n/2)+O(nlogn)

这个复杂度应该介于O(nlogn)和O(nlog^2n)之间吧……