Stirling数

Posted 2020-06-24 咸咸的告别

第一类

有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分成k个非空环排列的方法数。

S(p,k) 将p个物体排成k个非空循环排列的方法数。

S(p,k)=(p-1)*S(p-1,k)+S(p-1,k-1)   ,1<=k<=p-1

第p的物品单独一个排列，其余k-1个物品排列的方法数:S(p-1,k-1)

前p-1个物品构成k个非空排列，第p个物品插入第i个物品左边: (p-1)*S(p-1,k)   

初始条件： S(p,0)=0; S(p,p)=1;

  memset(stir,0,sizeof(stir));    
    stir[1][1]=1;
  
    for(i=2;i<N;i++)  
       for(j=1;j<=i;j++)  
           stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+(i-1)*stir[i-1][j]; 

　　

第二类

S(p,k)的一个组合学解释是：将p个物体划分成k个非空的不可辨别的（可以理解为盒子没有编号）集合的方法数。

k!S(p,k)是把p个人分进k间有差别(如：被标有房号）的房间(无空房）的方法数。

　　 

S(p,k)的递推公式是：S(p,k)=k*S(p-1,k)+S(p-1,k-1) ,1<= k<=p-1

边界条件：S(p,p)=1 ,p>=0    S(p,0)=0 ,p>=1    s(p,1)=1

  memset(stir,0,sizeof(stir));  
    stir[0][0]=0;  
    stir[N][1]=1;  
    stir[N][N]=1;
    for(i=2;i<N;i++)  
       for(j=1;j<=i;j++)  
           stir[i][j]=stir[i-1][j-1]+j*stir[i-1][j];