Longest Increasing Subsequence

Posted 2020-09-26

https://leetcode.com/problems/longest-increasing-subsequence/#/solutions

http://www.cnblogs.com/grandyang/p/4938187.html

http://www.cnblogs.com/EdwardLiu/p/5084553.html

先从 O(n^2) 的 DP 做法说起。先从这个开做，是因为 O(n^2) 做
法的普适性高，而且可以无视维度，易于扩展到各种变形与
follow-up 上。
需要返回具体 LIS sequence 的时候，加一个新 array，记录
parent index 一路追踪就可以了~ 和 Largest Divisible Subset
一样。

public class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums==null || nums.length==0) return 0;
        int res = 1;
        int len = nums.length;
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i=1; i<len; i++) {
            for (int j=0; j<i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j]+1);
                    if (dp[i] > res) res = dp[i];
                }
            }
        }
        return res;
    }
}

　下面我们来看一种优化时间复杂度到O(nlgn)的解法，这里用到了二分查找法，所以才能加快运行时间哇。思路是，我们先建立一个数组ends，把首元素放进去，然后比较之后的元素，如果遍历到的新元素比ends数组中的首元素小的话，替换首元素为此新元素，如果遍历到的新元素比ends数组中的末尾元素还大的话，将此新元素添加到ends数组末尾(注意不覆盖原末尾元素)。如果遍历到的新元素比ends数组首元素大，比尾元素小时，此时用二分查找法找到第一个不小于此新元素的位置，覆盖掉位置的原来的数字，以此类推直至遍历完整个nums数组，此时ends数组的长度就是我们要求的LIS的长度，特别注意的是ends数组的值可能不是一个真实的LIS，比如若输入数组nums为{4, 2， 4， 5， 3， 7}，那么算完后的ends数组为{2， 3， 5， 7}，可以发现它不是一个原数组的LIS，只是长度相等而已，千万要注意这点。

 public int lengthOfLIS(int[] nums) {            
        int[] dp = new int[nums.length];
        int len = 0;

        for(int x : nums) {
            int i = Arrays.binarySearch(dp, 0, len, x);
            if(i < 0) i = -(i + 1);
            dp[i] = x;
            if(i == len) len++;
        }

        return len;
    }

　　参数：a - 要搜索的数组fromIndex - 要搜索的第一个元素的索引（包括）toIndex - 要搜索的最后一个元素的索引（不包括）key - 要搜索的值返回：如果它包含在数组的指定范围内，则返回搜索键的索引；否则返回 (-(插入点) - 1)。 插入点 被定义为将键插入数组的那一点：即范围中第一个大于此键的元素索引，如果范围中的所有元素都小于指定的键，则为 toIndex。注意，这保证了当且仅当此键被找到时，返回的值将 >= 0。