51nod1149 Pi的递推式

Posted 2020-09-26 SilverNebula

 

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F(x) = 1 (0 <= x < 4)

F(x) = F(x - 1) + F(x - pi) (4 <= x)

Pi = 3.1415926535.....

现在给出一个N，求F(N)。由于结果巨大，只输出Mod 10^9 + 7的结果即可。

 

Input

输入一个整数N(1 <= N <= 10^6)

Output

输出F(N) Mod 10^9 + 7

Input示例

5

Output示例

3

 

数学问题 递推 组合数

实数下标的递推，甚至不能记忆化（吧？），递归显然不可取。

可以先考虑一般的情况。

比如Fibonacci数列的递推式是 $ F[n]=F[n-1]+F[n-2] $ 

众所周知，它的组合数意义可以解释为任选走一级或走两级，从0级上到n级台阶的方案数。（然而蒟蒻博主就不知道）

由此得出F[n]的另一个计算方式是枚举走两级走了i次，然后 $F[n]=\sum_{i=0}^{n/2} C(n-2i+i,i) $

这个算法可以推广到一般的递推式。

那么在本题中，可以类似地枚举走1和走pi的次数，累计从0走到大于n-4的位置的方案数。

由于枚举走1或枚举走pi时，另一个走法的次数上限不同（第一次到达>n-4的位置时，到达的具体位置不同），所以要分类讨论。

 

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const double pi=acos(-1.0);
 9 const int mxn=1000010;
10 const int mod=1e9+7;
11 int read(){
12     int x=0,f=1;char ch=getchar();
13     while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
14     while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘){x=x*10+ch-‘0‘;ch=getchar();}
15     return x*f;
16 }
17 int ksm(int a,int k){
18     int res=1;
19     while(k){
20         if(k&1)res=(LL)res*a%mod;
21         a=(LL)a*a%mod;
22         k>>=1;
23     }
24     return res;
25 }
26 int fac[mxn],inv[mxn];
27 void init(int ed){
28     fac[0]=fac[1]=1;inv[0]=inv[1]=1;
29     for(int i=2;i<=ed;i++)
30         fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
31     inv[ed]=ksm(fac[ed],mod-2);
32     for(int i=ed-1;i;i--)
33         inv[i]=(LL)inv[i+1]*(i+1)%mod;
34     return;
35 }
36 inline int C(int n,int m){
37     if(n<m)return 0;
38     return (LL)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
39 }
40 int n;
41 int ans=0;
42 int main(){
43     int i,j;
44     n=read();
45     if(n<4){
46         printf("1\n");return 0;
47     }
48     init(n);
49     for(i=0;i<=n-4;i++){//1
50         int tmp=(int)(((double)n-4-i)/pi);
51 //        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
52         (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
53     }
54     for(i=0;i*pi<=n-4;i++){//pi
55         int tmp=(int)(n-4-i*pi);
56 //        printf("i:%d tmp:%d %d\n",i,tmp,C(tmp+i,i));
57         (ans+=C(tmp+i,i))%=mod;
58     }
59     printf("%d\n",ans);
60     return 0;
61 }