实习同事问的问题

Posted 2020-06-24

实习下班，在地铁上，一起实习的同事问了我一个他自己随便想到的问题：

有n个人m种语言，每个人都会这m种语言中的若干语言（可能为零也可能是所有），所谓会，也即能听懂也能说。现在某个人掌握了一条信息，如果他用他会的某一种语言说出这条信息，则所有会这种语言的人都能领悟，并且他们各自将用自己所会的所有语言再复述这条信息，不断下去。试问，指定的那个人至少用多少种语言说出那条信息，可以使得最终所有人都能得到信息，或者判断这是不可能做到的。

我乍一想，应该可以用网络流解决本问题。但是当我仔细思考建模后，发现我并不能建出一个图来。再往经典图论算法上思考，可以对做语言传播的一个传递闭包，能够计算出每个语言能与哪些语言联通。但原问题最终目的是要让所有人接收到信息，还是要将人作为图中的信息。那么语言应当作为中间信息作为辅助，建立人之间信息传递闭包。即得出某一个人如果得到信息，则有多少人也会因此最终得到信息。那么，第一个人的每一种语言对应于一个除去他之外的人的集合，也即如果他用这种语言说出了信息，最终得到信息的人的集合，这时我发现这个问题最终居然形式上基本类同于集合覆盖SCP（https://en.wikipedia.org/wiki/Set_cover_problem）只不过集合的并集未必是全集，也即存在第一个人用所有他会的语言说出，也不能使得最终所有人得到信息。

这个问题按照我上述的思路应当确实最终规约到了SCP，目前我也并没有想到多项式复杂度的算法。