poj-3696 The Luckiest number

Posted 2020-09-25 zhchoutai

题意：

给出一个数L。求一个最小的x。使长度为x的888...8这个数整除L。

无解输出0，L<=2*10^9；

题解：

即求满足下式的最小x值：

8/9*(10^x-1)==k*L         (k为正整数)

8*(10^x-1)==k*9*L

为继续化简，求出r=gcd(L,8)。

8/r *(10^x-1)==k*9*L/r

由于8/r与9*L/r互质。9*L这个因式必在(10^x-1)中，所以原式即为：

10^x-1≡0(mod 9*L/r)

10^x≡1(mod 9*L/r)

设q=9*L/r。由欧拉定理得；

10^φ(q)≡1(mod q)

当gcd(q,10)==1时成立。不等于1时无解；

那么φ(q)就是满足题意的的一个解。

但这个解未必是最小的；

实际上。这里的答案也就是10对模q的指数，暂且记为ans；

有定理说明了对随意的d满足10^d≡1(mod q)时，d mod ans==0。

所以φ(q) mod ans == 0。

由于φ(q)可能非常大，不能直接枚举ans验证，就将φ(q)分解因式；

对全部的质因子i去验证φ(q)/i是否满足10^φ(q)/i≡1(mod q)。

一直枚举完质因子，最后得到的就是ans。

程序实现方面。gcd没什么问题；

为了更快的分解因数(φ函数和最后求解都要用)，能够预处理一个素数表(大小到10^5就够了)。

验证模线性方程要用到高速幂，可是由于取模数在10^10量级，乘法时有溢出long long的可能。

所以高速幂要套个高速乘。也是一样取模q；

求解上面说了，不再赘述。

代码：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define N 1000001
using namespace std;
typedef long long ll;
ll pri[N],tot;
bool vis[N];
void init()
{
	for(ll i=2;i<N;i++)
	{
		if(!vis[i])
			pri[++tot]=i;
		for(ll j=1;j<=tot&&i*pri[j]<N;j++)
		{
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)
				break;
		}
	}
}
ll gcd(ll a,ll b)
{
	ll t=a%b;
	while(t)
	{
		a=b,b=t;
		t=a%b;
	}
	return b;
}
ll mul(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll ret=0;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=(ret+x)%mod;
		x=(x+x)%mod;
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
ll pow(ll x,ll y,ll mod)
{
	ll ret=1;
	while(y)
	{
		if(y&1)
			ret=mul(ret,x,mod);
		x=mul(x,x,mod);
		y>>=1;
	}
	return ret;
}
ll eular(ll x)
{
	ll ret=x,i;
	for(i=1;pri[i]*pri[i]<=x;i++)
	{
		if(x%pri[i]==0)
		{
			while(x%pri[i]==0)
				x/=pri[i];
			ret/=pri[i],ret*=pri[i]-1;
		}
	}
	if(x!=1)
		ret/=x,ret*=x-1;
	return ret;
}
ll Ans(ll q)
{
	if(gcd(q,10)!=1)	return 0;
	ll ret=eular(q),temp=ret,cnt;
	for(ll i=1;pri[i]*pri[i]<=temp;i++)
	{
		if(temp%pri[i]==0)
		{
			cnt=0;
			while(temp%pri[i]==0)
				cnt++,temp/=pri[i];
			while(cnt)
			{
				if(pow(10,ret/pri[i],q)==1)
				{
					ret/=pri[i],cnt--;
				}
				else
					break;
			}
		}
	}
	if(temp!=1)
		if(pow(10,ret/temp,q)==1)
			ret/=temp;
	return ret;
}
int main()
{
	int c=1;
	ll n,i,j,k,p,q;
	init();
	while(scanf("%lld",&n)&&n)
	{
		q=9*n/gcd(n,8);
		printf("Case %d: %lld\n",c++,Ans(q));
	}
	return 0;
}