初等数学问题解答-1：九九乘法表的趣题

Posted 2020-09-25 赵胤数学课

 

本题适合小学四年级以上数学爱好者解答。

 

问题：

观察以下数列：

$2$, $3$, $6$, $1$, $8$, $6$, $8$, $\cdots\cdots\cdots$,

其前面几项的构成规律是：

$2\times3 = 6$, $3\times6 = 18$, $6\times1 = 6$, $1\times8 = 8$, 

证明：数字 $5$, $7$, $9$ 永远不会出现在这个数列中。

 

解答：

我们注意到需要证明的三个数字都是奇数，因此考虑奇偶分析。

我们先证明，在此数列中不可能连续出现两个奇数。

假设 $x$, $y$ 是两个连续出现的奇数，那么只有两种情况：

a. 存在另外两个连续出现的奇数 $a$, $b$, 使得 $a \cdot b = \overline{xy}$. （如：$5\times7 = 35$）

b. 存在另外两个连续出现的奇数 $c$, $d$, 使得 $c\cdot d = x$. （如：$1\times 3 = 3$）

因此，如果连续出现了两个奇数 $x$, $y$，那么在这两个奇数之前一定还存在连续出现的两个奇数 $a$, $b$ 或 $c$, $d$.

由此倒推回去，这个数列前三项中必有两项是奇数。矛盾！（前三项为 $2$, $3$, $6$）

至此，我们证明了此数列中不可能连续出现两个奇数。

接下来，我们考虑数字 $9$. 因为不可能连续出现两个奇数，所以数字 $9$ 只能以 $\overline{9z}$ 形式出现，即有两个一位数字之乘积不小于 $90$，这显然不可能。

因此，此数列中不会出现数字 $9$.

由于不能连续出现两个奇数，那么如果出现数字 $7$ 的话只能是 $8\times9 = 72$（即不可能是 $1\times7 = 7$, $3\times9 = 27$），但是 $9$ 不会出现在数列中。

因此，此数列中也不会出现数字 $7$.

最后我们考虑数字 $5$。由于不能连续出现两个奇数，则数字 $5$ 只能出现于 $7\times8 = 56$, $6\times9 = 54$，而数字 $7$, $9$ 都不会出现在数列中。

因此，此数列中也不会出现数字 $5$.

Q$\cdot$E$\cdot$D

 

 

作者简介：

赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。

主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。

在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。

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