[bzoj4922]Karp-de-Chant Number

Posted 2020-09-25 FallDream

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卡常数被称为计算机算法竞赛之中最神奇的一类数字，主要特点集中于令人捉摸不透，有时候会让水平很高的选手迷之超时。

普遍认为卡常数是埃及人Qa‘a及后人发现的常数。也可认为是卡普雷卡尔(Kaprekar)常数的别称。主要用于求解括号序列问题。

据考证，卡（Qa‘a）是古埃及第一王朝的最后一位法老。他发现并研究了一种常数，后世以他的名字叫做卡常数。卡特兰数的起源也是因为卡的后人与特兰克斯结婚，生下来的孩子就叫卡特兰，而他只是发表了祖传的家书而已。Sereja也是卡的后人，提出括号序列问题，也是从家书里得到的资料。然而Sereja为了不让这个秘密公开，于是隐瞒了这道题的真正做法。可是由于卡的后人不是各个都像卡特兰一样爱慕虚荣，这一算法也无法找到。“欲见贤人而不以其道，犹欲其入而闭之门也”。卡之常数的奥秘，需要以一颗诚心去追寻。

现给定n个括号序列，你需要选择若干序列，将它们按一定的顺序从左往右拼接起来，得到一个合法的括号序列。

显然，这个问题可以用卡常数解决，为了检验你是否会卡常数，请写一个程序，计算可以得到的合法的括号序列的长度的最大值。

n<=300 

 

合法的括号序列只要满足前缀和都大等于0并且总和是0就行了。

预处理每个序列的和还有前缀最小值

合法的括号序列可以看成两段接起来，分别由和是正的 和 和是负的组成。

对于和是正的，按照前缀最小值排序之后背包dp

负的也同理，翻转一下就是同样的做法了。

复杂度n^3

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MN 300
using namespace std;
inline int read()
{
    int x = 0 , f = 1; char ch = getchar();
    while(ch < ‘0‘ || ch > ‘9‘){ if(ch == ‘-‘) f = -1;  ch = getchar();}
    while(ch >= ‘0‘ && ch <= ‘9‘){x = x * 10 + ch - ‘0‘;ch = getchar();}
    return x * f;
}
char st[MN+5][MN+5];
int n,len[MN+5],mn[MN+5],f[MN*MN+5],g[MN*MN+5],mx[MN+5],top=0,top2=0,ans=0;
struct data{int x,l,len;}q[MN+5],q2[MN+5];
bool cmp(data x,data y){return x.x>y.x;}
int main()
{
    n=read();
    memset(f,128,sizeof(f));
    memset(g,128,sizeof(g));
    for(int i=1;i<=n;++i) 
    {
        scanf("%s",st[i]+1);
        for(int j=1;st[i][j];++j)
            len[i]+=st[i][j]==‘(‘?1:-1,
            mn[i]=min(mn[i],len[i]);
        for(int j=strlen(st[i]+1),k=0;j;--j)
            k+=st[i][j]==‘(‘?1:-1,mx[i]=max(mx[i],k);
        len[i]>=0?(q[++top]=(data){mn[i],len[i],strlen(st[i]+1)},0):
                  (q2[++top2]=(data){-mx[i],-len[i],strlen(st[i]+1)},0);
    }
    sort(q+1,q+top+1,cmp);
    sort(q2+1,q2+top2+1,cmp);
    f[0]=g[0]=0;
    for(int i=1;i<=top;++i)
        for(int j=i*MN;j>=q[i].l-q[i].x;--j)
            f[j]=max(f[j],f[j-q[i].l]+q[i].len);
    for(int i=1;i<=top2;++i)
        for(int j=i*MN;j>=q2[i].l-q2[i].x;--j)
            g[j]=max(g[j],g[j-q2[i].l]+q2[i].len);
    for(int i=MN*MN;~i;--i)
        if(f[i]>=0&&g[i]>=0) ans=max(ans,f[i]+g[i]);
    cout<<ans;
    return 0;    
}