巨坑 二分图学习笔记 [2017年6月计划 学习二分图]

Posted 2020-09-25

1、二分图：

　   ①把一个图的点集划为两个不相交的集合U，V，使得每一条边都连接U,V中的节点。 

　　 ②（等价定义，更方便看）不含边数为奇数的环的图

2、匹配（matching）：

　　边集，每一条边所连顶点互不相同

3、最大匹配：

　　所含边数最大的匹配

4、完美匹配：

　　所有顶点都被匹配，完美匹配一定是最大匹配。

5、交替路：

　　从一个非匹配点出发，依次走非匹配边，匹配边，非匹配边....交替走，形成交替路

6、增广路：

　　从一个非匹配点出发，走交替路，经过另一个非匹配点，则这条路径叫做增广路

　　  增广路特性：非匹配边比匹配边多1

　　  意义：改进匹配。把增广路匹配边与非匹配边交换位置即可，不会破坏原来的性质，且边数多一条

　　  匈牙利算法便是不断寻找增广路，直到找不到为止

　　增广路性质：

　　1、有奇数条边

　　2、起点‘终点不在二分图的同一侧

　　3、整条路径上没有重复的点

　　4、起点和终点是非匹配点，路径上其余点均是匹配点

　　5、路径上所有第奇数条边都不在原匹配上，所有第偶数条边都在原匹配上

7、匈牙利树

　　从未匹配点出发，走交替路，一直到无法扩展为止，形成一颗匈牙利树

8、增广路定理

　　一个匹配是最大匹配当且仅当没有增广路

9、匈牙利算法

　　算法流程：

　　　令M为图G上的任一匹配，初始时M为空：

　　　1、从一个未匹配点开始，走交替路，直到遇到非匹配点位置，并将

　　   2、交换增广路上的匹配点、非匹配边，两个非匹配点标记为匹配点

　　   3、重复步骤1、2，直到找不到一条增广路为止

　　   时间复杂度：O（nm）

10、完备匹配

　　匹配了二分图两个点集中较小集合的匹配

11、点覆盖相关概念

　 点覆盖集是一个点集，使图中的边都与点集向邻接

　　极小点覆盖是真子集不是点覆盖的点覆盖

　　最小点覆盖是点数最小的点覆盖

      点覆盖数是最小点覆盖的点数

12、边覆盖相关概念

　  边覆盖是一个边集，使所有的点都与边集中的点相邻接

　　极小边覆盖是真子集不是边覆盖的边覆盖

　　最小边覆盖是边数最小的边覆盖

       最小边覆盖是边数最小的边覆盖

　　边覆盖数是最小边覆盖的边数

13、独立集相关概念

　 　独立集是一个点集。集合中任意两点不相邻，称为点集V的独立集。或者说导出子图（图G（V,E）,若V‘是’V的一个子集，则V与其所连点构成的图G‘叫做V‘的导出子图；若E‘是E的一个子集，则E‘与其所连点构成的图G‘叫做E‘的导出子图）是零图的点集

　    极大独立集是再加入其他点将不再是独立集的独立集

 　　最大独立集是点数最多的独立集

　　 独立数是最大独立集的点数

14、团

　　团是一个点集。集合中任意两个点相连，或者说导出子图是完全图的点集。

       极大团是加入任何一个点都不是团的团

       最大团是点数最多的团

       团数是最大团的点数

15、边独立集

　　边独立集是一个边集。集合中任意两条边不邻接

　　 极大边独立集是再加入任何边都不是独立集的独立集

       最大边独立集是边数最多的边独立集

       边独立数是最大边独立集的边数

　　边独立集又称匹配，相应得有极大匹配、最大匹配、匹配数

16、支配集

　　支配集是一个点集。使得所有点至少有一个相邻点在这个点集中。或者说是一部分点支配了另一部分点

　　极小支配集是真子集不是支配集的支配集

　　最小支配集是点数最少的支配集

　　支配数是最小支配集的点数

17、边支配集

　   边支配集是一个边集。使得所有边至少有一个邻接边在这个边集中。或者说是一部分边支配了另一部分边。

　　  极小边支配集是真子集不是边支配集的边支配集

　　  最小边支配集是点数最少的边支配集

　　  边支配数是最小边支配集的边数

18、边覆盖集

　　最小路径覆盖，即用最少的不相交的简单路径，覆盖DAG上的所有点，即每个点严格属于一条路径。路径长度可能为0（一个点）

　　边覆盖集：边覆盖集是图中所有顶点均是集合中边的邻接点且一条边只能覆盖2个顶点

　　极小边覆盖：真子集不是边覆盖集的边覆盖集

　　最小边覆盖：边数最小的边覆盖集

　　边覆盖数：最小边覆盖的边数

19、最小边覆盖

　　最小路径覆盖，即用最少的不相交的简单路径，覆盖DAG上的所有点，即每个点严格属于一条路径。路径长度可能为0（一个点）

　　  最小边覆盖数：最小边覆盖的路径条数

20、一些性质

　　1、最小边覆盖数 = 独立数 = 节点数 - 匹配数

　　2、DAG上最小边覆盖的求法：把一个点拆分成两个点i,i‘，最小边覆盖数即为原图节点数 - 拆分后匹配数。符合要求的一条路径：i -> j‘, j -> k‘, k -> q‘。。。。

　　3、匹配数 = 二分图一边的非匹配点数 + 另一边的匹配点数

 

（还有很多东西有待补充。基础学习先到这里为止吧。绝大多数内容改（抄）编（录）于博客http://dsqiu.iteye.com/blog/1689505）