牛顿迭代法与一道经典编程问题

Posted 2020-09-25 blfbuaa

       牛顿迭代法（Newton’s method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method）。它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

       既然牛顿迭代法能够用来求解方程的根，那么最好还是以方程 $x^2=n$ 为例，来试着求解它的根。

为此。

令$f(x) = x^2 - n$， 也就是相当于求解 $f(x) = 0$ 的解。如上图所看到的。


       首先随便找一个初始值 $x_0$，假设 $x_0$不是解，做一个经过 $( x_0,f( x_0))$ 这个点的切线，与$x$轴的交点为$x_1$。相同的道理。假设 $x_1$不是解，做一个经过$( x_1,f( x_1))$这个点的切线，与$x$轴的交点为$x_2$。

以此类推。以这种方式得到的$x_i$会无限趋近于 $f(x) = 0$ 的解。


推断$x_i$是否是$f(x) = 0$的解有两种方法： 一是直接计算$f(x_i)$的值推断是否为$0$，二是推断前后两个解$x_i$和$x_{i-1}$是否无限接近。


经过$(x_i, f(x_i))$这个点的切线方程为

$$f(x) = f(x_i) + f‘(x_i)(x - x_i)$$ 当中。$f‘(x)$为$f(x)$的导数，本题中为$2x$。

令切线方程等于 $0$。就可以求出

$$x_{i+1}=x_i - \frac{f(x_i)}{f‘(x_i)}$$


继续化简


$$x_{i+1}=x_i -\frac{x_i^2 - n}{2x_i} = x_i - \frac{x_i}{2} + \frac{n}{2x_i} = \frac{x_i}{2} + \frac{n}{2x_i}$$

基于上述迭代公式，我们其实给出了一个求平方根的算法。其实，这也的确是非常多语言中内置的开平方函数的实现方法。

Leetcode上也有一道经典面试题目涉及到开平方函数的实现。例如以下

基于我们已经给出的牛顿迭代法，以下就可来编程解决该问题了。演示样例代码例如以下

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) {
        if (x ==0)  
        return 0;  
        double pre;  
        double cur = 1;  
        do  
        {  
        pre = cur;  
        cur = x / (2 * pre) + pre / 2.0;  
        } while (abs(cur - pre) > 0.00001);  
        return int(cur);  
    }
};