动态规划(斜率优化)：BZOJ 3675 [Apio2014]序列分割

Posted 2020-06-24 既然选择了远方，便只顾风雨兼程

Description

小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长
度为N的非负整数序列分割成k+l个非空的子序列。为了得到k+l个子序列，
小H将重复进行七次以下的步骤：
1．小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的
序列一一也就是一开始得到的整个序列）；
2．选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新
序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序
列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案，使得k轮（次）之后，
小H的总得分最大。

Input

输入文件的第一行包含两个整数n和尼(k+1≤n)。
第二行包含n个非负整数a1，n2…．，an(0≤ai≤10^4)，表示一开始小H得
到的序列。

Output

一行包含一个整数，为小H可以得到的最大得分。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

 

　　这题记前缀和为s，当前状态f[i]，则状态转移方程是f[i]=max(f[j]+s[j]*(s[i]-s[j]))，如果推到之一步，这道题就差不多解决了。

　　使用斜率优化的技巧然后加上滚动数组，就可以很悬地AC了（斜率优化的DP是半正解）~~~

　　1A的哦~，长长的26行好蛋疼啊~

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <cstdio>
 4 using namespace std;
 5 const int maxn=100010;
 6 long long dp[maxn][2];
 7 long long s[maxn];
 8 int q[maxn],front,back;
 9 int main(){
10     int n,K;
11     scanf("%d%d",&n,&K);K++;
12     for(int i=1;i<=n;i++){
13         scanf("%lld",&s[i]);
14         s[i]+=s[i-1];
15     }
16     int now,pre;
17     for(int k=2;k<=K;k++){
18         now=(k+1)%2;
19         pre=k%2;
20         front=back=1;
21         q[back++]=0;
22         for(int i=1;i<=n;i++){
23             while(front<back-1&&dp[q[front+1]][pre]-dp[q[front]][pre]+(s[q[front+1]]-s[q[front]])*s[i]-s[q[front+1]]*s[q[front+1]]+s[q[front]]*s[q[front]]>=0)
24                 front++;
25             dp[i][now]=dp[q[front]][pre]+s[q[front]]*(s[i]-s[q[front]]);
26             while(front<back-1&&(dp[i][pre]-dp[q[back-1]][pre]-s[i]*s[i]+s[q[back-1]]*s[q[back-1]])*(s[q[back-2]]-s[q[back-1]])<=(dp[q[back-1]][pre]-dp[q[back-2]][pre]-s[q[back-1]]*s[q[back-1]]+s[q[back-2]]*s[q[back-2]])*(s[q[back-1]]-s[i]))    
27             back--;
28             q[back++]=i;
29         }
30     }
31     printf("%lld\n",dp[n][now]);    
32 }