「6月雅礼集训 2017 Day10」perm（CodeForces 698F）

Posted 2020-09-25 逢山开路 遇水架桥

【题目大意】

给出一个$n$个数的序列$\{a_n\}$，其中有些地方的数为0，要求你把这个序列填成一个1到$n$的排列，使得：

$(a_i, a_j) = 1$，当且仅当$(i, j) = 1$。多组数据。

$n \leq 3\times 10^5, T\leq 10$

CodeForces：无多组数据，$n \leq 10^6$

【题解】

这题有点神奇啊。。

首先考虑序列全是0要怎么做。

考虑到如果两个数的位置含有的因数种类完全一样，那么它们是可以互换的。（这个挺显然的）

观察如果两个质数的出现次数相同，那么这两个质数的位置是可以互换的。

第一个结论的解释是：比如位置2，位置4，原来它们对应关系是2-2,4-4，那么变成2-4,4-2也仍然合法。（显然其他也成立）

第二个结论的解释是：比如2和3的出现次数相同，就是意思说$\lfloor n/2 \rfloor = \lfloor n/3 \rfloor$，那么可以把含有2的因数的所有数（比如1*2, 2*2, 3*2, ...）和含有3因数的所有数（1*3, 2*3, 3*3, ...）对应互换。这个显然是没有问题的。

那么全0的话，就分别计算两个结论的贡献即可。

如果有很多数可以互相互换，那么设这些数的数量为$n_i$，对答案的贡献就是$n_i !$

现在考虑如果有些点已经被填了数要怎么做。

下文说的因数个数，指质因数分解后，去掉重复因数后的序列。

考虑位置$x$填了数$y$，那么要满足$x$的因数个数要等于$y$的因数个数，因为本来$x$填的是$x$，现在填了$y$，那么如果有解的话，也要满足对于每个$(i, x) = 1$，$(a_i, y) = 1$。之前已经满足的是$(a_i, x) = 1$；反之也成立。所以当且仅当$x$和$y$的因数个数相同，才能满足这一点。

我们把$x$和$y$的因数按照大小排序，显然就是按照出现次数进行排序了（出现次数=$n/i$）。

那么我们要做的就是把$x$和$y$的每个因数进行匹配，那么就是排序后对应的位置进行匹配。显然这个匹配是一个一一对应关系（双射）。为什么这么做呢？相当于我钦定了这两个质数交换（实际上给了$a_i$已经钦定了）

如果有不能对应的，也就是第二个结论：出现次数不相等，那么显然无解。

在这里我还被能不能去掉之前的匹配，和其他重新匹配，类似于匈牙利这种想法卡了一会儿。。。。这个显然没有问题，因为我两边无论什么顺序都要匹配，不能调换使得不在匹配中。

然后如果对应关系出现了冲突，显然一个质数不能和两个同时互换，这情况也是无解。

对于填了数$a_i$，相当于我$a_i$这个位置被钦定改变了，也就是对于第一个结论，会少一部分数可以进行互换，需要扣除。

那么就写完了。

需要强调的是，处理1的问题，我们把1看做一个质数。这样处理起来比较方便。当然也可以特判之类的

把双射写成单射在CodeForces上有两种情况：①wa on 37；②AC。（分别对应两个单射）

CF数据太水了啊。。太垃圾了。

终于调完了

# include <vector>
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <iostream>
# include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef long double ld;

const int N = 1e6 + 10, F = 1e6;
const int mod = 1e9 + 7;

int n, a[N], c[N], fac[N];

int p[F/3], pn, id[F]; 
bool isnp[F + 5];
inline void sieve() {
    isnp[0] = isnp[1] = 1;
    for (int i=2; i<=F; ++i) {
        if(!isnp[i]) p[++pn] = i, id[i] = pn;
        for (int j=1; j<=pn && i*p[j]<=F; ++j) {
            isnp[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j] == 0) break;
        }
    }
}

vector<int> y[N];
inline void divide() {
    y[1].push_back(1);
    for (int i=1; i<=pn; ++i)
        for (int j=p[i]; j<=F; j+=p[i]) y[j].push_back(p[i]);
}    

inline void combine(int x) {
    c[x] = 1;
    for (int i=0; i<y[x].size(); ++i) c[x] = c[x] * y[x][i];
}

int t[N], u[N], fr[N], rf[N];

inline void sol() {
    int ans = 1;
    cin >> n;
    for (int i=1; i<=n; ++i) scanf("%d", a+i);
    for (int i=1; i<=n; ++i) t[i] = 0, u[i] = 0, rf[i] = fr[i] = 0; t[pn] = rf[pn] = fr[pn] = 0;
    for (int i=1; i<=n; ++i) t[c[i]] ++;
    for (int i=1; i<=n; ++i) 
        if(a[i] != 0) t[c[i]] --;
    for (int i=1; i<=n; ++i) ans = 1ll * ans * fac[t[i]] % mod;
    for (int i=1; i<=n; ++i) t[i] = 0;
    for (int i=1; i<=n; ++i) 
        for (int j=0; j<y[i].size(); ++j)
            t[id[y[i][j]]] ++;
    for (int i=1; i<=n; ++i) {
        if(a[i] != 0) {
            if(y[i].size() != y[a[i]].size()) {
                puts("0");
                return ;
            }
            for (int j=0; j<y[i].size(); ++j) {
                int ta = y[i][j], tb = y[a[i]][j]; ta = id[ta], tb = id[tb];
                if(t[ta] != t[tb]) {
                    puts("0");
                    return ;
                }
                if(fr[ta] && fr[ta] != tb) {
                    puts("0");
                    return ;
                }
                fr[ta] = tb;
                if(rf[tb] && rf[tb] != ta) {
                    puts("0");
                    return ;
                }
                rf[tb] = ta;
            }
        }
    }
    for (int i=1; i<=pn; ++i) 
        if(!fr[i]) u[t[i]] ++; 
    for (int i=1; i<=n; ++i)
        ans = 1ll * ans * fac[u[i]] % mod;
    cout << ans << endl;
}

int main() {
//    freopen("perm.in", "r", stdin);
//    freopen("perm.out", "w", stdout);
    int T; cin >> T;
    sieve();
    fac[0] = 1;
    for (int i=1; i<=F; ++i) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % mod;
    divide();
    for (int i=1; i<=F; ++i) combine(i);
    isnp[1] = 0; p[++pn] = 1; id[1] = pn;
    while(T--) sol();
    return 0;
}

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