Go语言核心技术(卷一)之2.2－浮点数

Posted 2020-06-24 Sunface撩技术

Go提供了两种size的浮点数，float32和float64。它们的算术规范是由IEEE754国际标准定义，现代CPU都实现了这个规范。

浮点数能够表示的范围可以从很小到很巨大，浮点数的取值范围可以在math包中获取，math.MaxFloat32表示float32的最大值，大约是3.4e38，math.MaxFloat64大概是1.8e308。两个类型最小的非负值大概是1.4e-45和4.9e-324。

float32大约可以提供小数点后6位的精度，作为对比，float64可以提供小数点后15位的精度。通常应该优先选择float64，因此float32的精确度较低，在累积计算时误差扩散很快，而且float32能精确表达的最小正整数并不大，因为浮点数和整数的底层解释方式完全不同，具体见IEEE754详解。

var f float32 = 16777216 // 1 << 24
fmt.Println(f == f+1)    // "true"!

浮点数字面量可以使用十进制数字表示：

const e = 2.71828 // (approximately)

小数点前面或者后面的数字都可以省略，例如：.707 ， 1.   。对于那种很小或者很大的数值最好用科学计数法，在指数前加上e或者E:

const Avogadro = 6.02214129e23  // 阿伏伽德罗常数
const Planck   = 6.62606957e-34 // 普朗克常数

fmt打印浮点数时，若使用%g参数，会采用更高的精度更紧凑的表现形式进行打印，但是在打印表格数据时，%e(指数)或者%f(非指数的)的形式可能更合适，上面三个参数都可以控制打印的宽度和精度：

for x := 0; x < 8; x++ {
    fmt.Printf("x = %d e^x = %8.3f\n", x, math.Exp(float64(x)))
}

上面的代码使用了小数点后3位的精度打印了e的指数，然后x的打印宽度是8个字符：

x = 0   ex =    1.000
x = 1   ex =    2.718
x = 2   ex =    7.389
x = 3   ex =   20.086
x = 4   ex =   54.598
x = 5   ex =  148.413
x = 6   ex =  403.429
x = 7   ex = 1096.633

math包不仅包含了大量的数学函数，还包含了IEEE754规范下特殊浮点数的创建和查看：正无穷，表明数字太大溢出的情况；负无穷，被0除的结果；NaN(不是一个数值),用来表示无效运算的结果，0 / 0, math.Sqrt(-1)。

var z float64
fmt.Println(z, -z, 1/z, -1/z, z/z) //  "0 -0 +Inf -Inf NaN"

函数math.IsNaN测试一个数值是否是NaN，math.NaN会返回一个NaN值。虽然可以在数值计算中用NaN做为一个哨兵值，但是测试一个计算的结果是否等于NaN是很危险的，因为任何值跟NaN比较的结果都是false：

nan := math.NaN()
fmt.Println(nan == nan, nan < nan, nan > nan) // "false false false"

如果一个返回浮点数的函数可能失败，那最好还是单独的报告失败：

func compute() (value float64, ok bool) {
    // ...
    if failed {
        return 0, false
    }
    return result, true
}

下面的程序演示了通过浮点数计算来生成图形，使用了z = f(x,y)来进行三维建模，使用了SVG格式做图像输出，SVG是一个用于绘制矢量线的XML标准。下图战士了sin(r)/r函数生成的图形，r = sqrt(x*x + y*y)：

// Surface computes an SVG rendering of a 3-D surface function.
package main

import (
    "fmt"
    "math"
)

const (
    width, height = 600, 320            // canvas size in pixels
    cells         = 100                 // number of grid cells
    xyrange       = 30.0                // axis ranges (-xyrange..+xyrange)
    xyscale       = width / 2 / xyrange // pixels per x or y unit
    zscale        = height * 0.4        // pixels per z unit
    angle         = math.Pi / 6         // angle of x, y axes (=30°)
)

var sin30, cos30 = math.Sin(angle), math.Cos(angle) // sin(30°), cos(30°)

func main() {
    fmt.Printf("<svg xmlns=‘http://www.w3.org/2000/svg‘ "+
        "style=‘stroke: grey; fill: white; stroke-width: 0.7‘ "+
        "width=‘%d‘ height=‘%d‘>", width, height)
    for i := 0; i < cells; i++ {
        for j := 0; j < cells; j++ {
            ax, ay := corner(i+1, j)
            bx, by := corner(i, j)
            cx, cy := corner(i, j+1)
            dx, dy := corner(i+1, j+1)
            fmt.Printf("<polygon points=‘%g,%g %g,%g %g,%g %g,%g‘/>\n",
                ax, ay, bx, by, cx, cy, dx, dy)
        }
    }
    fmt.Println("</svg>")
}

func corner(i, j int) (float64, float64) {
    // Find point (x,y) at corner of cell (i,j).
    x := xyrange * (float64(i)/cells - 0.5)
    y := xyrange * (float64(j)/cells - 0.5)

    // Compute surface height z.
    z := f(x, y)

    // Project (x,y,z) isometrically onto 2-D SVG canvas (sx,sy).
    sx := width/2 + (x-y)*cos30*xyscale
    sy := height/2 + (x+y)*sin30*xyscale - z*zscale
    return sx, sy
}

func f(x, y float64) float64 {
    r := math.Hypot(x, y) // distance from (0,0)
    return math.Sin(r) / r
}

这里的corner函数返回两个值，分别是网格顶点的x，y坐标。
如果要深入解释图像生成的原理，这里需要一些几何学知识。但是这里我们跳过几何学原理，毕竟这个程序主要是为了演示浮点数的运算。程序本质上是三个坐标系间的映射，如下图所示，第一个是100*100的二维网格，每个格子都有坐标(i,j)，从坐标系原点(0,0)开始延伸。绘制时是从远处开始绘制，因此远处先绘制的多边形可能被后绘制的多边形覆盖。

第二个坐标系是三维网格组成的,坐标(x,y,z)，其中x和y是i和j的线性函数，通过平移转换把原点变为中心点，然后通过xyrange进行缩放。高度z是f(x,y)的值。

第三个坐标系是一个二维的画布，起点(0,0)在左上角。画布中心坐标(sx,sy），我们使用等角投影将三维点(x,y,z)投影到二维的画布中。画布上的点离右边越远，x和y值越大，z值越小。x和y的垂直缩放系数是30度角的sin值，水平缩放系统是30度角的cos值。z的缩放系数0.4是一个任意的值。

对于二维网格中的每一个网格单元，main函数会计算该单元在画布上对应的多边形ABCD的顶点，B对应顶点(i,j)，A、C、D是B的邻接点，然后输出SVG的绘制指令。