bzoj2006[NOI2010]超级钢琴 倍增RMQ+STL-堆

Posted 2020-09-24 GXZlegend

题目描述

小Z是一个小有名气的钢琴家，最近C博士送给了小Z一架超级钢琴，小Z希望能够用这架钢琴创作出世界上最美妙的音乐。 这架超级钢琴可以弹奏出n个音符，编号为1至n。第i个音符的美妙度为Ai，其中Ai可正可负。 一个“超级和弦”由若干个编号连续的音符组成，包含的音符个数不少于L且不多于R。我们定义超级和弦的美妙度为其包含的所有音符的美妙度之和。两个超级和弦被认为是相同的，当且仅当这两个超级和弦所包含的音符集合是相同的。 小Z决定创作一首由k个超级和弦组成的乐曲，为了使得乐曲更加动听，小Z要求该乐曲由k个不同的超级和弦组成。我们定义一首乐曲的美妙度为其所包含的所有超级和弦的美妙度之和。小Z想知道他能够创作出来的乐曲美妙度最大值是多少。

输入

第一行包含四个正整数n, k, L, R。其中n为音符的个数，k为乐曲所包含的超级和弦个数，L和R分别是超级和弦所包含音符个数的下限和上限。 接下来n行，每行包含一个整数Ai，表示按编号从小到大每个音符的美妙度。

N<=500,000  k<=500,000  -1000<=Ai<=1000,1<=L<=R<=N且保证一定存在满足条件的乐曲

输出

只有一个整数，表示乐曲美妙度的最大值。

样例输入

4 3 2 3
3
2
-6
8

样例输出

11

---

题解

倍增RMQ（貌似这个叫做ST表）+STL-堆

首先我们将连续子序列和转化为前缀和相减，那么对于每个左端点，找它的右端点，就转变为求某范围内前缀和的最大值、次大值、...

但是直接拿出整个序列显然会TLE+MLE。

我们考虑，如果左端点t，右端点[l,r]，我们找出属于[l,r]的位置p，使得sum[p]最大。那么很显然，当且仅当p被选择之后，[l,p-1]和[p+1,r]内的右端点才可能会被选择。

所以我们可以维护一个结构体，储存t、l、r、p、v，分别表示左端点、右端点区间的左位置、右端点区间的右位置、右端点区间最大值的位置、右端点区间最大值，显然v=sum[p]-sum[t-1]。我们优先选择v较大的区间把它拿出来，把它的v加入到答案中。然后考虑剩下的[l,p-1]和[p+1,r]，如果存在这些区间的话，采取相同的方式处理即可。这个过程显然可以使用堆来维护。

维护区间最大值即位置。可以使用倍增RMQ来解决，时间复杂度更低一些。

因此总的时间复杂度为$O((n+k)\log n)$

另外需要注意的是priority_queue需要重载<运算符，而不是>（尽管它是大根堆）

#include <cstdio>
#include <queue>
#define N 500010
using namespace std;
struct data
{
	int t , b , e , v , p;
	data() {}
	data(int t0 , int b0 , int e0 , int v0 , int p0) {t = t0 , b = b0 , e = e0 , v = v0 , p = p0;}
	bool operator<(const data a)const {return v < a.v;}
}tmp;
priority_queue<data> q;
int sum[N] , maxn[N][20] , maxp[N][20] , log[N];
int getmaxn(int x , int y)
{
	int k = log[y - x + 1];
	return max(maxn[x][k] , maxn[y - (1 << k) + 1][k]);
}
int getmaxp(int x , int y)
{
	int k = log[y - x + 1];
	return maxn[x][k] > maxn[y - (1 << k) + 1][k] ? maxp[x][k] : maxp[y - (1 << k) + 1][k];
}
int main()
{
	int n , k , l , r , i , j , x , y;
	long long ans = 0;
	scanf("%d%d%d%d" , &n , &k , &l , &r);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%d" , &x) , sum[i] = sum[i - 1] + x , maxn[i][0] = sum[i] , maxp[i][0] = i;
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ ) log[i] = log[i >> 1] + 1;
	for(i = 1 ; i <= log[n] ; i ++ )
	{
		for(j = 1 ; j <= n - (1 << i) + 1 ; j ++ )
		{
			if(maxn[j][i - 1] > maxn[j + (1 << (i - 1))][i - 1]) maxn[j][i] = maxn[j][i - 1] , maxp[j][i] = maxp[j][i - 1];
			else maxn[j][i] = maxn[j + (1 << (i - 1))][i - 1] , maxp[j][i] = maxp[j + (1 << (i - 1))][i - 1];
		}
	}
	for(i = 1 ; i <= n - l + 1 ; i ++ ) x = i + l - 1 , y = min(i + r - 1 , n) , q.push(data(i , x , y , getmaxn(x , y) - sum[i - 1] , getmaxp(x , y)));
	while(k -- )
	{
		tmp = q.top() , q.pop() , ans += tmp.v;
		if(tmp.p > tmp.b) x = tmp.b , y = tmp.p - 1 , q.push(data(tmp.t , x , y , getmaxn(x , y) - sum[tmp.t - 1] , getmaxp(x , y)));
		if(tmp.p < tmp.e) x = tmp.p + 1 , y = tmp.e , q.push(data(tmp.t , x , y , getmaxn(x , y) - sum[tmp.t - 1] , getmaxp(x , y)));
	}
	printf("%lld\n" , ans);
	return 0;
}