BZOJ3672[Noi2014]购票 树分治+斜率优化

Posted 2020-09-24 CQzhangyu

【BZOJ3672】[Noi2014]购票

Description

 今年夏天，NOI在SZ市迎来了她30周岁的生日。来自全国 n 个城市的OIer们都会从各地出发，到SZ市参加这次盛会。

       全国的城市构成了一棵以SZ市为根的有根树，每个城市与它的父亲用道路连接。为了方便起见，我们将全国的 n 个城市用 1 到 n 的整数编号。其中SZ市的编号为 1。对于除SZ市之外的任意一个城市 v，我们给出了它在这棵树上的父亲城市 f_v  以及到父亲城市道路的长度 s_v。

从城市 v 前往SZ市的方法为：选择城市 v 的一个祖先 a，支付购票的费用，乘坐交通工具到达 a。再选择城市 a 的一个祖先 b，支付费用并到达 b。以此类推，直至到达SZ市。

对于任意一个城市 v，我们会给出一个交通工具的距离限制 l_v。对于城市 v 的祖先 a，只有当它们之间所有道路的总长度不超过 l_v  时，从城市 v 才可以通过一次购票到达城市 a，否则不能通过一次购票到达。对于每个城市 v，我们还会给出两个非负整数 p_v,q_v  作为票价参数。若城市 v 到城市 a 所有道路的总长度为 d，那么从城市 v 到城市 a 购买的票价为 dp_v+q_v。

每个城市的OIer都希望自己到达SZ市时，用于购票的总资金最少。你的任务就是，告诉每个城市的OIer他们所花的最少资金是多少。

Input

第 1 行包含2个非负整数 n,t，分别表示城市的个数和数据类型（其意义将在后面提到）。输入文件的第 2 到 n 行，每行描述一个除SZ之外的城市。其中第 v 行包含 5 个非负整数 f_v,s_v,p_v,q_v,l_v，分别表示城市 v 的父亲城市，它到父亲城市道路的长度，票价的两个参数和距离限制。请注意：输入不包含编号为 1 的SZ市，第 2 行到第 n 行分别描述的是城市 2 到城市 n。

Output

输出包含 n-1 行，每行包含一个整数。其中第 v 行表示从城市 v+1 出发，到达SZ市最少的购票费用。同样请注意：输出不包含编号为 1 的SZ市。

Sample Input

7 3
1 2 20 0 3
1 5 10 100 5
2 4 10 10 10
2 9 1 100 10
3 5 20 100 10
4 4 20 0 10

Sample Output

40
150
70
149
300
150

HINT

对于所有测试数据，保证 0≤p_v≤10⁶，0≤q_v≤10¹²，1≤f_v<v；保证 0<s_v≤l_v≤2×10¹¹，且任意城市到SZ市的总路程长度不超过 2×10¹¹。

输入的 t 表示数据类型，0≤t<4，其中：

当 t=0 或 2 时，对输入的所有城市 v，都有 f_v=v-1，即所有城市构成一个以SZ市为终点的链；

当 t=0 或 1 时，对输入的所有城市 v，都有 l_v=2×10¹¹，即没有移动的距离限制，每个城市都能到达它的所有祖先；

当 t=3 时，数据没有特殊性质。

n=2×10^5

题解：做这种题就怕突然灵光一现，然后自己yy了一发，到对拍1w组的时候才发现自己的做法完全GG，于是只好重写。。。

先分享一下做这道题的思路（前置技能：BZOJ1492货币兑换），如果着急和MM约会，可以直接看最后两段。

——————————————从此处开始略过——————————————

蒟蒻的独白：“不就是将cdq分治换成树分治嘛，有什么难的？这式子也太水了：用dep[i]表示根到i的距离，f[i]表示从i到根的最小购票费用，显然 $f[i]=min(f[j]+(dep[i]-dep[j])*p[i]+q[i]) \\rightarrow f[j]=dep[j]*p[i]+f[i]-q[i]-dep[i]*p[i]$ 式子都推出来了，搞呗！当我们以x为分治中心时，可选的i就是x子树中的所有点，可选的j就是根到i路径上的所有点（当然要满足i,j的距离<=li啦~），然后我就先递归分治x的父亲的那部分（在有根树中好像这个不能叫子树吧？），然后将x到根路径上的所有的点都拎出来维护个凸包，枚举x子树中的所有点，然后每个点都在那个凸包上二分一下，就完事啦！WA。 “突然发现，我们在搞凸包的时候，会丢掉很多点，新加入一些深度更小的点，但是由于有距离限制，这些深度更小的点不能更新x子树中的一些点，于是，这就要求我们将x子树中的点也都拎出来，一起搞。 “思路来了，我们将x到根路径上的所有点都用数组A存起来，x子树中的点都用数组B存起来，并按照（dep-l）排好序，那么我们同时扫这两个数组，边维护凸包边二分更新答案，感觉很棒！WA。 “惊讶的发现！x居然是降序的！无可奈何，重新搞。WA。 “1w组对拍都过了？woc用叉积会爆long long！无可奈何，用double。AC。”

————————————————省略结束————————————————

总结一下全过程（翻译一下代码）：

1.当我们以x为分治中心时，先从网上一直延伸直到第一个已经访问过的节点，然后将这个最高点记录下来（一会才用！），然后分治处理x的父亲那部分
2.处理完父亲后，我们将从x到那个最高点的路径上的点都拎出来扔到数组A中，再DFSx的子树中的点，放到B中，并按dep-l从大到小排序。
3.同时扫A和B，进行斜率优化
4.分治处理x的子树

本人的代码不可读性还是比较高的，WA的同学请注意：在我们拎出x子树中的点时，就算访问到之前被标记过（做过分治中心）的点时也要将它放入数组中更新，只是不继续延伸下去。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define x(_) (dep[_])
#define y(_) (f[_])
using namespace std;
const int maxn=200010;
typedef long long ll;
int n,m,cnt,maxx,tot,root;
int fa[maxn],siz[maxn],to[maxn],next[maxn],head[maxn],A[maxn],st[maxn],vis[maxn],B[maxn];
ll val[maxn],dep[maxn],len[maxn],p[maxn],q[maxn],lim[maxn],f[maxn];
ll rd()
{
	ll ret=0;	char gc=getchar();
	while(gc<\'0\'||gc>\'9\')	gc=getchar();
	while(gc>=\'0\'&&gc<=\'9\')	ret=ret*10+gc-\'0\',gc=getchar();
	return ret;
}
bool cmp(int a,int b)
{
	return dep[a]-lim[a]>dep[b]-lim[b];
}
void add(int a,int b)
{
	to[cnt]=b,next[cnt]=head[a],head[a]=cnt++;
}
void getr(int x,int fa)
{
	siz[x]=1;
	int i,mx=0;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])
	{
		if(vis[to[i]]||to[i]==fa)	continue;
		getr(to[i],x),siz[x]+=siz[to[i]],mx=max(mx,siz[to[i]]);
	}
	if(maxx>max(mx,tot-siz[x]))	maxx=max(mx,tot-siz[x]),root=x;
}
void getB(int x)
{
	B[++B[0]]=x;
	if(vis[x])	return ;
	for(int i=head[x];i!=-1;i=next[i])	getB(to[i]);
}
double getk(int a,int b)
{
	if(x(a)==x(b))	return 1e15*(y(a)>y(b)?1.0:-1.0);
	else	return (double)(y(a)-y(b))/(x(a)-x(b));
}
void calc(int x)
{
	if(!m)	return ;
	int mid,l=1,r=m;
	double k=p[x];
	while(l<r)
	{
		mid=l+r>>1;
		if(getk(A[mid],A[mid+1])>k)	l=mid+1;
		else	r=mid;
	}
	f[x]=min(f[x],f[A[l]]+(dep[x]-dep[A[l]])*p[x]+q[x]);
}
void dfs(int x)
{
	vis[x]=1;
	int i,j,top=x;
	while(top!=1&&!vis[fa[top]])	top=fa[top];
	if(x!=top)	maxx=1<<30,tot=siz[top]-siz[x],getr(top,0),dfs(root);
	if(top!=1)	top=fa[top];
	st[st[0]=1]=x;
	while(st[st[0]]!=top)	st[st[0]+1]=fa[st[st[0]]],st[0]++;
	for(B[0]=0,i=head[x];i!=-1;i=next[i])	getB(to[i]);
	sort(B+1,B+B[0]+1,cmp);
	for(m=0,i=1,j=1;i<=st[0];i++)
	{
		for(;j<=B[0]&&dep[st[i]]<dep[B[j]]-lim[B[j]];j++)	calc(B[j]);
		while(m>1&&getk(A[m-1],A[m])<=getk(A[m],st[i]))	m--;
		A[++m]=st[i];
	}
	for(;j<=B[0];j++)	calc(B[j]);
	for(i=head[x];i!=-1;i=next[i])	if(!vis[to[i]])	maxx=1<<30,tot=siz[to[i]],getr(to[i],x),dfs(root);
}
int main()
{
	n=rd(),rd();
	int i;
	memset(head,-1,sizeof(head));
	for(i=2;i<=n;i++)
	{
		fa[i]=rd(),len[i]=rd(),p[i]=rd(),q[i]=rd(),lim[i]=rd();
		add(fa[i],i);
		dep[i]=dep[fa[i]]+len[i];
	}
	memset(f,0x3f,sizeof(f)),f[1]=0;
	maxx=1<<30,tot=n,getr(1,0),dfs(root);
	for(i=2;i<=n;i++)	printf("%lld\\n",f[i]);
	return 0;
}