递归解决全排列生成算法

Posted 2020-09-23

排列：从n个元素中任取m个元素，并按照一定的顺序进行排列，称为排列；

全排列：当n==m时，称为全排列；

 

比如：集合{ 1,2,3}的全排列为：

{ 1 2 3} 

{ 1 3 2 }

{ 2 1 3 }

{ 2 3 1 }

{ 3 2 1 }

{ 3 1 2 }

 

方法一：

 

我们可以将这个排列问题画成图形表示，即排列枚举树，比如下图为{1,2,3}的排列枚举树，此树和我们这里介绍的算法完全一致；

 

 

算法思路：

(1)n个元素的全排列=（n-1个元素的全排列）+（另一个元素作为前缀）；

(2)出口：如果只有一个元素的全排列，则说明已经排完，则输出数组；

(3)不断将每个元素放作第一个元素，然后将这个元素作为前缀，并将其余元素继续全排列，等到出口，出口出去后还需要还原数组；

 

 

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1. public class Test {  
2.     public static int arr[] = new int[]{1,2,3};  
3.     public static void main(String[] args) {  
4.         perm(arr,0,arr.length-1);  
5.     }  
6.     private static void swap(int i1, int i2) {  
7.         int temp = arr[i2];  
8.         arr[i2] = arr[i1];  
9.         arr[i1] = temp;  
10.     }  
11.   
12.     /** 
13.      * 对arr数组中的begin~end进行全排列 
14.      *  
15.      * 比如： 
16.      *  arr = {1,2,3} 
17.      *  第一步：执行 perm({1,2,3},0,2),begin=0,end=2; 
18.      *      j=0,因此执行perm({1,2,3},1,2),begin=1,end=2; 
19.      *          j=1,swap(arr,0,0)-->arr={1,2,3},  perm({1,2,3},2,2),begin=2,end=2; 
20.      *              因为begin==end，因此输出数组{1,2,3} 
21.      *          swap(arr,1,1) --> arr={1,2,3}; 
22.      *          j=2,swap(arr,1,2)-->arr={1,3,2},  perm({1,3,2},2,2),begin=2,end=2; 
23.      *              因为begin==end，因此输出数组{1,3,2} 
24.      *          swap(arr,2,1) --> arr={1,2,3}; 
25.      *      j=1,swap(arr,0,1) --> arr={2,1,3},     perm({2,1,3},1,2),begin=1,end=2; 
26.      *          j=1,swap(arr,1,1)-->arr={2,1,3}   perm({2,1,3},2,2),begin=2,end=2; 
27.      *              因为begin==end，因此输出数组{2,1,3} 
28.      *          swap(arr,1,1)--> arr={2,1,3}; 
29.      *          j=2,swap(arr,1,2)后 arr={2,3,1},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2; 
30.      *              因为begin==end，因此输出数组{2,3,1} 
31.      *          swap(arr,2,1) --> arr={2,1,3}; 
32.      *      swap(arr,1,0)  --> arr={1,2,3} 
33.      *      j=2,swap(arr,2,0) --> arr={3,2,1},执行perm({3,2,1},1,2),begin=1,end=2; 
34.      *          j=1,swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1} , perm({3,2,1},2,2),begin=2,end=2; 
35.      *              因为begin==end，因此输出数组{3,2,1} 
36.      *          swap(arr,1,1) --> arr={3,2,1}; 
37.      *          j=2,swap(arr,2,1) --> arr={3,1,2},并执行perm({2,3,1},2,2),begin=2,end=2; 
38.      *              因为begin==end，因此输出数组{3,1,2} 
39.      *          swap(arr,2,1) --> arr={3,2,1}; 
40.      *      swap(arr,0,2) --> arr={1,2,3} 
41.      *       
42.      * @param arr 
43.      * @param begin  
44.      * @param end 
45.      */  
46.     public static void perm(int arr[], int begin,int end) {  
47.         if(end==begin){         //一到递归的出口就输出数组，此数组为全排列  
48.             for(int i=0;i<=end;i++){  
49.                 System.out.print(arr[i]+" ");  
50.             }  
51.             System.out.println();  
52.             return;  
53.         }  
54.         else{  
55.             for(int j=begin;j<=end;j++){   
56.                 swap(begin,j);      //for循环将begin~end中的每个数放到begin位置中去  
57.                 perm(arr,begin+1,end);  //假设begin位置确定，那么对begin+1~end中的数继续递归  
58.                 swap(begin,j);      //换过去后再还原  
59.             }  
60.         }  
61.     }  
62. }  

方法二：

 

 

 

 

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1. public class Test2 {  
2.     public static int arr[] = new int[]{0,0,0};  
3.     public static void main(String[] args) {  
4.         perm(3);  
5.     }  
6.     /** 
7.      * 数组变化过程： 
8.      * 3 0 0 
9.      * 3 2 0 
10.      * 3 2 1 
11.      * 3 2 0 
12.      * 3 0 0 
13.      * 3 0 2 
14.      * 3 1 2 
15.      * 3 0 2 
16.      * 3 0 0 
17.      * 0 0 0 
18.      * 0 3 0 
19.      * 2 3 0 
20.      * 2 3 1 
21.      * 2 3 0 
22.      * 0 3 0 
23.      * 0 3 2 
24.      * 1 3 2 
25.      * 0 3 2 
26.      * 0 3 0 
27.      * 0 0 0 
28.      * 0 0 3 
29.      * 2 0 3 
30.      * 2 1 3 
31.      * 2 0 3 
32.      * 0 0 3 
33.      * 0 2 3 
34.      * 1 2 3 
35.      * 0 2 3 
36.      * 0 0 3 
37.      * 0 0 0 
38.      * @param m 
39.      */  
40.     private static void perm(int m) {  
41.         if(m==0){  
42.             for(int i=0;i<arr.length;i++){  
43.                 System.out.print(arr[i]+" ");  
44.             }  
45.             System.out.println();  
46.             return;  
47.         }  
48.         else{  
49.             for(int i=0;i<arr.length;i++){  
50.                 if(arr[i]==0){  
51.                     arr[i] = m;  
52.                     perm(m-1);  
53.                     arr[i] = 0;  
54.                 }  
55.             }  
56.         }  
57.     }  
58. }  

 

参考文献：

1.全排列的递归算法实现   李盘荣

2.全排列递归算法在算法教学中的重要性  吴素萍

3.排序算法与全排列生成算法研究 陈卫东, 鲍苏苏