Codevs 3286 火柴排队

Posted 2020-09-23 Soda

3286 火柴排队

 

题目描述 Description

涵涵有两盒火柴，每盒装有 n 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为：
，其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。

输入描述 Input Description

共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出描述 Output Description

输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。

样例输入 Sample Input

[Sample 1]
4 
2 3 1 4 
3 2 1 4
[Sample 2]
4 
1 3 4 2 
1 7 2 4

样例输出 Sample Output

[Sample 1]
1
[Sample 2]
2

数据范围及提示 Data Size & Hint

【样例1说明】
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
【样例2说明】
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
【数据范围】
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10； 
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100； 
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000； 
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ 2^31 - 1。

分析：①首先分析题目，它要求一种排序方法，使a数组和b数组得到的Σ（a-b）^2最小，那我们就一组2个数来分析，设a1、a2、b1、b2，假设a1<a2&&b1<b2,由此我们得到答案为: (a1-b1)^2+(a2-b2)^2=a1^2+a2^2+b1^2+b2^2-2*a1*b1-2*a2*b2 如果我们想使答案最小，就要使a1*b1+a2*b2最大，但我们调换b1、b2的顺序时，则成为a1*b2-a2*b1,比较两者大小：
a1*b1+a2*b2- (a1*b2-a2*b1)=(a1-a2)*(b1-b2),显然是正数，所以前者大，由两个数推及至n个数也成立。
②我们已经知道让a、b数组大小相同的对齐就可以了，那么就用归并排序求逆序对的方法求交换次数就可以了。我们设a[i].num 就是在a数组里排第一的数原来的位置，b[i].num 就是在b数组里排第一的数原来的位置，我们要a、b 数组中排名相同的数位置也相同，设now[i]为在a数组位置是i的数在b数组中的位置，例如 now[1]=2 就是在a数组位置是 1 的数在b数组中的位置是 2 ，这样不符合规定，所以我们要排序把 now[1] 放到 2 的位置上排序的逆序对个数就是操作数。

My Cola

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define maxn 100010
#define mod 99999997
int n,c[maxn],ans,tmp[maxn];
struct node{
    int id,num;
}a[maxn],b[maxn];
int cmp(node x,node y){return x.num<y.num;}
void merge(int l,int r){
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    merge(l,mid);merge(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1;int pos=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(c[i]>c[j])ans=(ans+mid-i+1)%mod,tmp[pos++]=c[j++];
        else tmp[pos++]=c[i++];
    }
    while(i<=mid)tmp[pos++]=c[i++];
    while(j<=r)tmp[pos++]=c[j++];
    for(int k=l;k<=r;k++)c[k]=tmp[k];
}
int main(){
    //freopen("Cola.txt","r",stdin);
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i].num),a[i].id=i;
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&b[i].num),b[i].id=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp);sort(b+1,b+n+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)c[a[i].id]=b[i].id;
    merge(1,n);
    printf("%d",ans);
}