Jacobi-Anger expansion

Posted 2020-09-23 mashiqi

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2017/06/16

 

适合于自己的关于Jacobi-Anger expansion的推导方法，这里记下来，方便以后查阅。

现记住下面四个关系式：

\\begin{align*}
& (1)~ |x-y|=|x| -\\hat{x} \\cdot y + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{|x|}\\right), ~|x| \\to +\\infty. \\\\
& (2)~ \\sum_{m=-n}^{n} Y_n^m(\\hat{x})\\overline{Y_n^m(\\hat{y})} = \\frac{2n+1}{4\\pi} P_n(\\cos\\theta). \\\\
& (3)~ \\Phi (x,y) \\triangleq \\frac{e^{ik|x-y|}}{4\\pi|x-y|} = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}\\sum_{m=-n}^{n} h_n^{(1)}(k|x|)Y_n^m(\\hat{x}) j_n(k|y|)\\overline{Y_n^m(\\hat{y})}, \\forall~ |x| > |y|. \\\\
&(4)~ h_n^{(1)}(t) = \\frac{1}{i^{n+1}t} e^{it} \\left\\{1 + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{t}\\right)\\right\\}, ~t \\to +\\infty.
\\end{align*}

于是当$|x|$充分大时，我们可以得到

\\begin{align*}
\\frac{e^{ik|x-y|}}{4\\pi|x-y|} & = \\frac{e^{ik|x|}}{4\\pi|x|} \\left\\{ e^{-ik\\hat{x} \\cdot y} + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{|x|}\\right) \\right\\} \\\\
& = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty}\\sum_{m=-n}^{n} h_n^{(1)}(k|x|)Y_n^m(\\hat{x}) j_n(k|y|)\\overline{Y_n^m(\\hat{y})} \\\\
& = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\left\\{ j_n(k|y|)h_n^{(1)}(k|x|) \\left[ \\sum_{m=-n}^{n} Y_n^m(\\hat{x}) \\overline{Y_n^m(\\hat{y})} \\right] \\right\\} \\\\
& = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\left\\{ j_n(k|y|)h_n^{(1)}(k|x|) \\frac{2n+1}{4\\pi} P_n(\\cos\\theta) \\right\\} \\\\
& = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{4\\pi} j_n(k|y|) P_n(\\cos\\theta) h_n^{(1)}(k|x|) \\\\
& = ik \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{4\\pi} j_n(k|y|) P_n(\\cos\\theta) \\frac{e^{ik|x|}}{i^{n+1}k|x|} \\left\\{1 + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{|x|}\\right)\\right\\} \\\\
& = \\frac{e^{ik|x|}}{4\\pi |x|} \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{i^n} j_n(k|y|) P_n(\\cos\\theta) \\left\\{1 + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{|x|}\\right)\\right\\} \\\\
& = \\frac{e^{ik|x|}}{4\\pi |x|} \\left\\{ \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{i^n} j_n(k|y|) P_n(\\cos\\theta) + \\mathcal{O}\\left(\\frac{1}{|x|}\\right)\\right\\}.
\\end{align*}

于是$$e^{-ik\\hat{x} \\cdot y} = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{i^n} j_n(k|y|) P_n(\\cos\\theta).$$将$\\hat{x}$换做$-d$，$y$换做$x$，可得：

\\begin{align*}
e^{ikd \\cdot x} & = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{i^n} j_n(k|x|) P_n(\\cos(\\pi-\\theta)) \\\\
& = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\frac{2n+1}{i^n} j_n(k|x|) (-1)^n P_n(\\cos\\theta) \\\\
& = \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} i^n(2n+1) j_n(k|x|) P_n(\\cos\\theta).
\\end{align*}