求解Catalan数，（大数相乘，大数相除，大数相加）

Posted 2020-09-22 太子丶

Catalan数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰（1814–1894）命名。历史上，清代数学家明安图(1692年－1763年)在其《割圜密率捷法》最早用到“卡塔兰数”，远远早于卡塔兰。有中国学者建议将此数命名为“明安图数”或“明安图-卡塔兰数”。卡塔兰数的一般公式为 C(2n,n)/(n+1)。

性质：

令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数满足递归式：

h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;

还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) ，(n>1)  h(0)=1

该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)

卡塔兰数列的前几项为 [注： n = 0, 1, 2, 3, … n]

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

 

代码求解：

　　大数相加

 1 //大数相加
 2 string add(string s1,string s2)
 3 {
 4     if(s1.length()<s2.length())
 5     {
 6         string temp=s1;
 7         s1=s2;
 8         s2=temp;
 9     }
10     int i,j;
11     for(i=s1.length()-1,j=s2.length()-1; i>=0; i--,j--)
12     {
13         s1[i]=char(s1[i]+(j>=0?s2[j]-‘0‘:0));
14         if(s1[i]-‘0‘>=10)
15         {
16             s1[i]=char((s1[i]-‘0‘)%10+‘0‘);
17             if(i) s1[i-1]++;
18             else s1=‘1‘+s1;
19         }
20     }
21     return s1;
22 }

　　大数相乘

 1 //大数相乘
 2 string mult(string a,string b)
 3 {
 4     int flag=0,i,j,k,p,q,t,max;
 5     char ch;
 6     string c,ans;
 7     p=a.size()-1;
 8     q=b.size()-1;
 9     ans="0";
10     for(i=p; i>=0; i--)
11     {
12         flag=0;
13         c="";
14         for(j=i; j<p; j++) c+=‘0‘;
15         for(j=q; j>=0; j--)
16         {
17             t=(b[j]-‘0‘)*(a[i]-‘0‘)+flag;
18             flag=t/10;
19             c+=(t%10+‘0‘);
20         }
21         if(flag) c+=(flag+‘0‘);
22         for(j=0,k=c.size()-1; j<k; j++,k--)
23         {
24             ch=c[j];
25             c[j]=c[k];
26             c[k]=ch;
27         }
28         ans=add(ans,c);
29     }
30     return ans;
31 }

　　大数除以小数

 1 //大数除以小数
 2 string div(string src,int n)
 3 {
 4     string dest="";
 5     int len = src.length(),i,k,t = 0 , s = 0;
 6     bool flag = true;
 7     for(i=0,k=0; i<len; i++)
 8     {
 9         t = s*10+(src[i]-48);
10         if(t/n>0 || t==0)
11             dest += (t/n+48),s = t%n,flag = false;
12         else
13         {
14             s = t;
15             if(!flag)
16                 dest += ‘0‘;
17         }
18     }
19     return dest;
20 }

　　求解Catalan数

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <algorithm>
  5 #include <cmath>
  6 #include <vector>
  7 #include <map>
  8 #include<string.h>
  9 #include<stack>
 10 #include<set>
 11 #include <queue>
 12 using namespace std;
 13 string s[120];
 14 
 15 //大数相加
 16 string add(string s1,string s2)
 17 {
 18     if(s1.length()<s2.length())
 19     {
 20         string temp=s1;
 21         s1=s2;
 22         s2=temp;
 23     }
 24     int i,j;
 25     for(i=s1.length()-1,j=s2.length()-1; i>=0; i--,j--)
 26     {
 27         s1[i]=char(s1[i]+(j>=0?s2[j]-‘0‘:0));
 28         if(s1[i]-‘0‘>=10)
 29         {
 30             s1[i]=char((s1[i]-‘0‘)%10+‘0‘);
 31             if(i) s1[i-1]++;
 32             else s1=‘1‘+s1;
 33         }
 34     }
 35     return s1;
 36 }
 37 
 38 //大数相乘
 39 string mult(string a,string b)
 40 {
 41     int flag=0,i,j,k,p,q,t,max;
 42     char ch;
 43     string c,ans;
 44     p=a.size()-1;
 45     q=b.size()-1;
 46     ans="0";
 47     for(i=p; i>=0; i--)
 48     {
 49         flag=0;
 50         c="";
 51         for(j=i; j<p; j++) c+=‘0‘;
 52         for(j=q; j>=0; j--)
 53         {
 54             t=(b[j]-‘0‘)*(a[i]-‘0‘)+flag;
 55             flag=t/10;
 56             c+=(t%10+‘0‘);
 57         }
 58         if(flag) c+=(flag+‘0‘);
 59         for(j=0,k=c.size()-1; j<k; j++,k--)
 60         {
 61             ch=c[j];
 62             c[j]=c[k];
 63             c[k]=ch;
 64         }
 65         ans=add(ans,c);
 66     }
 67     return ans;
 68 }
 69 
 70 //大数除以小数
 71 string div(string src,int n)
 72 {
 73     string dest="";
 74     int len = src.length(),i,k,t = 0 , s = 0;
 75     bool flag = true;
 76     for(i=0,k=0; i<len; i++)
 77     {
 78         t = s*10+(src[i]-48);
 79         if(t/n>0 || t==0)
 80             dest += (t/n+48),s = t%n,flag = false;
 81         else
 82         {
 83             s = t;
 84             if(!flag)
 85                 dest += ‘0‘;
 86         }
 87     }
 88     return dest;
 89 }
 90 int main()
 91 {
 92     s[1]="1";
 93     for(int i=2; i<101; i++)
 94     {
 95         char s1[10000];
 96         sprintf(s1,"%d",4*i-2);
 97         s[i] = mult(s[i-1],s1);
 98         s[i] = div(s[i],i+1);
 99     }
100     int n;
101     while(scanf("%d",&n))
102     {
103         if(n==-1) break;
104         cout<<s[n]<<endl;
105     }
106     return 0;
107 }