网络流小结

Posted 2020-09-22 心里只有学习

这两天复习了下网络流，高中学的ISAP忘得七七八八，干脆把Dinic，ISAP和预流推进都重新看了一遍，写了个简洁的小结（基本上就是给自己看的）

 

网络流

剩余图

顶点的层次：源点到点的最短路径长度

层次图建立在剩余图基础上

阻塞流:不存在增广路时

 

FF

复杂度O(n*m*u)

容量网络、流量网络、残量网络

用最大流最小割定理证明

 

EK

复杂度O(n*m*m)

建反向边，每次bfs找最短增广路

最多增广n*m次（每阶段最多增广m次）

 

Dinic

多路增广

1.初始化容量网络和网络流

2.构造残留网络和层次网络，汇点不在则退出

3.一次DFS以增广

4.转2

 

比起EK单阶段增广从m*m优化为n*m

 

最高标号预流推进(HLPP)

预流推进：

定义盈余、活跃节点、h函数、可推流边(h(u)=h(v)+1)

1.令flow(s,v)=cap(s,v)，flow(u,v)=0，构造h函数，h(s)=n

2.不存在活顶点则exit

3.选取活顶点v，选可推流边，没有了则令h(v)=min{h(w)+1}，再加入队列

FIFO队列n*n*m

先进先出则变为最高标号预流推进，n*n*sqrt(m)

流量一次性从源中出来，推入汇或最终退回源

 

ISAP

Improved Shortest Augmenting Path

在EK算法基础上，增广后继续增广，直到遇到死路，执行retreat操作(修改d值，重建层次网络)

retreat时d[u]=min{d[v]+1}(u，v是残量网络邻接点，v靠t更近)(保证了最短路)，若无邻接点，取d[u]大于等于n

 

实现：

1.初始化d数组，从t到s逆向进行

2.维护当前节点u

3.不连通时d[s]>=n

4.GAP 优化(重要):retreat时若u是唯一一个和t距离d[u]的点，则exit

5.另一优化:记录上次处理到的邻接边

 

拿poj1273写了Dinic和ISAP的模板（基本上去掉main就是模板内容）。虽然A了，但可能还有错误，以后做网络流的有发现时候再更正，有空再写个预流推进。

当前ISAP的模板是递归的，以后再多写几个版本出来。

 

Dinic

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define tra(k,u) for (int k=head[u];k!=-1;k=ed[k].next)

const int MAXN=2000;
const int MAXM=2000;
const int INF=1e9;

struct edge{
    int to,f,next;
}ed[2*MAXM+10];
int head[MAXN],tot;
int d[MAXN];
int q[MAXN];

int n,m,s,e,c,ans;

void init(int point_num)
{
    tot=-1;
    memset(head,-1,sizeof(int)*(point_num+1));
}

void add_edge(int u,int v,int f)
{
    ed[++tot].to=v;ed[tot].f=f;ed[tot].next=head[u];head[u]=tot;
    ed[++tot].to=u;ed[tot].f=0;ed[tot].next=head[v];head[v]=tot;
}

void bfs(int src)
{
    int l=0,r=0,now;
    q[++r]=src;d[src]=0;
    while (l<r)
    {
        now=q[++l];
        tra(k,now) if (ed[k].f && d[ed[k].to]==-1)
        {
            d[ed[k].to]=d[now]+1;
            q[++r]=ed[k].to;
        }
    }
}

int dfs(int now,int delta,int t)
{

    if (now==t) return delta;
    int tempflow=0,stream=0;
    tra(k,now) if (ed[k].f && d[ed[k].to]==d[now]+1)
    {
        stream=dfs(ed[k].to,min(delta,ed[k].f),t);
        tempflow+=stream;
        ed[k].f-=stream;
        ed[k^1].f+=stream;
        delta-=stream;
        if (delta==0) break;
    }
    return tempflow;
}

int maxflow_Dinic(int s,int t,int point_num)
{
    int maxflow=0;
    while (1)
    {
        memset(d,-1,sizeof(int)*(point_num+1));
        bfs(s);
        if (d[t]==-1) return maxflow;
        maxflow+=dfs(s,INF,t);
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        init(m);
        rep(i,1,n)
        {
            scanf("%d%d%d",&s,&e,&c);
            add_edge(s,e,c);
        }
        ans=maxflow_Dinic(1,m,m);
        printf("%d\n",ans);
    }
}

 

递归ISAP

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define rep(i,a,b) for (int i=a;i<=b;++i)
#define tra(k,u) for (int k=head[u];k!=-1;k=ed[k].next)

const int MAXN=2000;
const int MAXM=2000;
const int INF=1e9;

struct edge{
    int to,f,next;
}ed[2*MAXM+10];
int head[MAXN],tot;
int d[MAXN];
int q[MAXN];
int pre[MAXN]; //增广路上的上一个点
int gap[MAXN]; //gap优化

int n,m,s,e,c,ans;

void init(int point_num)
{
    tot=-1;
    memset(head,-1,sizeof(int)*(point_num+1));
}

void add_edge(int u,int v,int f)
{
    ed[++tot].to=v;ed[tot].f=f;ed[tot].next=head[u];head[u]=tot;
    ed[++tot].to=u;ed[tot].f=0;ed[tot].next=head[v];head[v]=tot;
}

void bfs(int t)
{
    int l=0,r=0,now;
    q[++r]=t;d[t]=0;
    while (l<r)
    {
        now=q[++l];
        tra(k,now) if (ed[k^1].f && d[ed[k].to]==-1)
        {
            d[ed[k].to]=d[now]+1;
            q[++r]=ed[k].to;
        }
    }
}

int dfs(int now,int delta,int t,int point_num)
{
    if (now==t) return delta;
    int stream=0,tempflow=0,mind=point_num;
    tra(k,now)
    {
        if (ed[k].f)
        {
            if (d[ed[k].to]+1==d[now])
            {
                stream=dfs(ed[k].to,min(delta,ed[k].f),t,point_num);
                tempflow+=stream;
                ed[k].f-=stream;
                ed[k^1].f+=stream;
                delta-=stream;
                if (d[s]>=point_num) return tempflow;
                if (delta==0) break;
            }
            mind=min(mind,d[ed[k].to]+1);
        }
    }

    if (tempflow==0)
    {
        --gap[d[now]];
        if (gap[d[now]]==0) d[s]=point_num;
        d[now]=mind;
        ++gap[d[now]];
    }

    return tempflow;
}

int maxflow_ISAP(int s,int t,int point_num)
{
    int u=0,ans=0;
    memset(d,-1,sizeof(int)*(point_num+1));
    memset(gap,0,sizeof(int)*(point_num+1));
    bfs(t);                             //bfs可去掉，效率稍微降低
    rep(i,1,n) ++gap[d[i]];
    while (d[s]<point_num)
    {
        ans+=dfs(s,INF,t,point_num);
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        init(m);
        rep(i,1,n)
        {
            scanf("%d%d%d",&s,&e,&c);
            add_edge(s,e,c);
        }
        ans=maxflow_ISAP(1,m,m);
        printf("%d\n",ans);
    }
}